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Devoirs maisons, Géométrie dans l'espace Devoir maison n°1

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Etudiez les devoirs et les activités 2011/2012 pour la classe de 2nde.

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Publié le 01 janvier 2011
Nombre de lectures 189
Langue Français

Exrait

2nde – Devoir maison n°1
Optimisation
Le but de ce devoir est dans une situation géométrique donnée de calculer un volume en
fonction d’un paramètre x. A l’aide d’un graphique nous pourrons alors conjecturer la valeur
minimale de ce volume qui dépend de x.
Description de la situation.
Une sphère de rayon 4 est placée sur un plan horizontale (P). Le point de contact entre le
plan et la sphère est noté H. Sur la perpendiculaire au plan passant par H on place un point
S au delà du "pôle nord" de la sphère. (donc SH > 8) On trace un cône de sommet S, et de
disque de base reposant sur (P), de telle sorte que ce cône soit tangent à la sphère. Voici un
dessin de cette situation ainsi que les mesures correspondantes.
S
HS =x
HI =r
I H
Pour les deux questions qui suivent ont pourra s’aider de l’animation qui se trouve sur le
site internet du cours à l’adresse :
http ://sarmate.free.fr/ressources/A6/classe2/animation_DM_1.html
1. LorsquelepointS montequefaitlepointI?Lorsquexaugmente quefaitdonc lenombre
r?
2nde – Devoir maison n°1 1
bbbb2. Lorsque le point S se rapproche du pôle nord de la sphère que fait le point I?
Le volume V du cône dépend de la position de S (donc de la valeur de x). On cherche
à calculer la valeur minimale de V. Pour cela nous allons tout d’abord raisonner dans la
figure suivante, qui est une coupe de la figure précédente.
S
HI =r
HS =x
A
OA = 4O
α
I
H
3. Quelle est la nature du triangle AOS?
2 24. Montrer alors que AS =x −8x
[5. Montrer que AOS =α
6. En exprimant tan α de deux manières différentes montrer que :
x AS
=
r 4
7. En déduire que
16x2r =
x−8
8. Montrer alors que le volume V du cône est donnée par la formule :
216π x
V(x) =
3 x−8
9. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivants :
x 8,1 8,2 8,5 9 10 11 12 13 14
V(x)
10. Al’aidedecetableaudevaleurstracerdansunrepèreorthogonallacourbereprésentative
du volume V. On fera attention à bien adapter les unités.
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bbbbb11. A l’aide de la courbe précédente trouver à quelle hauteur nous devons placer S pour que
le volume du cône soit minimal.
12. Quel est alors le volume du cône?
13. Expliquer physiquement ce qu’il se passe lorsque le point S se rapproche du pôle nord
de la sphère? En quoi ce résultat se trouve sur le graphique?
14. Que se passe-t-il si le point S s’éloigne de plus en plus du pôle nord de la sphère? En
quoi cela se retrouve sur le graphique?
Pour faire ce devoir maison vous aurez besoin de :
• La formule de l’aire d’un disque.
• Celle du volume d’un cône.
• Que la somme des mesures des angles d’un triangle fait ...
• Des formules de trigonométries.
• Des identités remarquables.
• De la manière dont on a tracé les courbes en classe.
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