Exercice Daniel Reisz Auxerre Quel élève n'a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d'écrire f g f g Y a t il des fonctions pour lesquels cette règle est vraie Que peut on en dire Exercice Georges Lion Wallis Soit deux groupes finis G et G et une bijection de G sur G tels que pour tout x G alors x soit de même ordre que x Se peut il que ne soit pas un isomorphisme Solutions Exercice Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint Martin Paris Soit une droite et O un point extérieur la droite On considère un nombre indéterminé de points Ai de tels que les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+1 soient tous de même rayon r Démontrer que quel que soit k les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+k sont tous de même rayon rk

Daniel Reisz

Description

Exercice 480-3 (Daniel Reisz – Auxerre) Quel élève n'a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d'écrire (f g)? = f ?g? ? Y a-t-il des fonctions pour lesquels cette règle est vraie ? Que peut-on en dire ? Exercice 480-4 (Georges Lion – Wallis) Soit deux groupes finis G et G? et une bijection ? de G sur G? tels que, pour tout x ? G, alors ? (x) soit de même ordre que x. Se peut-il que ? ne soit pas un isomorphisme ? Solutions Exercice 478-1 (Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint-Martin – Paris) Soit (∆) une droite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre indéterminé de points Ai de (∆) tels que les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+1 soient tous de même rayon r. Démontrer que, quel que soit k, les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+k sont tous de même rayon rk. Solution de Raymond Raynaud (Digne) 1) Soit H le projeté de O sur ∆. Posons OH = h. Soit A l'un quelconque des points Ai et A? le point Ai+1. Soit r le rayon du cercle inscrit dans le triangle OAA? et s = h ? r. Désignons par a et a? les angles et Si h et r sont fixés, la donnée de a entraîne celle de a?.

• rsh rs


• ?pqt4 ?


• triangles oaiai


• rs h1


• rayon du cercle


• ??? ???h


• oi sin


• tan

Sujets

• Moreau
• Raynaud

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Extrait

Exercice 478-1 (Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint-Martin – Paris)

Soit (Δdroite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre) une indéterminé de points A i de (Δ) tels que les cercles inscrits dans les triangles OA i A i+1 soient tous de même rayonr. Démontrer que, quel que soitk, les cercles inscrits dans les triangles OA i A i+k sont tous de même rayonr k . Solution de Raymond Raynaud (Digne)

1) Soit H le projeté de O surΔ. Posons OH=h. O Soit A l’un quelconque des points A i et A′le point A i+1 . a a ¢ Soitrle rayon du cercle inscrit dans le triangle s OAA′ets=h−r. h · Désignons paraeta′les angles HOA et · HOA′. Sihetrsont fixés, la donnée de r entraîne celle dea′. H Calculons donca′en fonction dea. a a OI + ′ OI sin a′ −a . cos 2 =s et 2 =r ros a+a′ =sin a′ −a , cs

P

A

I

Q

A ¢

2 2 d’où je tire a ′ stan+r tan a 2 . = 2 rtan a + s 2 tan a 2 ′ est l’image de 2 nta a par la fonction homographique f:tat′ = ts tr + + r (dont s l’hyperbole représentative a son centre sur la deuxième bissectrice).

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Exercices de-ci, de-là

Appei ns x px+q lonsfonct o ϕ les fonctions du type a qx+p oùpetqsont deux réels strictement positifs. Il est facile de constater que la composée de deux fonctionsϕest une fonctionϕ: f(x) px+ f q ′(x)= p q ′ ′ x + +q ′ ′ (f′of)(x)= ( (pp pq + ′ + ′ qp qq ′ ′ ) ) x x+ +pp pq + ′ + ′ qq qp ′ ′ Si = et , alors . qx+p x p Donc, sifest une fonctionϕ,f (k) est aussi une fonctionϕpour tout entierk supérieur à 0.

2)A étant toujours l’un quelconque des points A i , je désigne maintenant par A ′  Al e o i n t p i + k ,k . 0étant un entier quelconque supérieur à · · Comme précédemment,ae ta ′ désignent les angles HOA e t HOA ′ . S i j’arrive à démontrer que le rayon du cercle inscrit dans le triangle AOA ′ est indépendant dea, l sera résolu. roblème p e Mon arme pour réussir est celle-ci :a ′ est l’image deapar une fonction ϕ . D’abord,hétant fixé ainsi queae ta ′ , il faut calculer le rayonrdu cercle inscrit dans le triangle AOA ′ . En utilisant deux expressions de l’aire du triangle 2S=h 2 ( tana′ −tana ) , h  a a  2S   =tan′ −tan+ 1 soca + s 1 oca   ′ r, on obtient

r    = tp tq + + q p −t      1− tp t tq + + q p    . Pour démontrer querest indépendant dea, il suffit de démontrer qu’il en est de même 1 1 + u= cosacosa′ . de tana′ −tana Utilisant t=tan    a 2    et t′ =tan    a 2 ′    , on obtient u= ( t ′ 1− −t ) t ( 2 1 t ′ + 2 tt ′) . Commet′ est l’image detpar une fonctionϕ, il existe deux réelspetqtels que t′ = pt+q . qt+p Dès lors :

pt+q − u    1t 2   ( ( q    t 1 + −t p ) ) p q 2 2 t t  + +   p q (   =  pt+q− ( t qt ( q + t p + ) 2 p ) ) −t ( 2 qt ( p + t − +q ) 2 ( +  )) . =     q ptp t  pt+q −t qt+p

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Pour chercher et approfondir

Num(u)= −p 2 t 4 −2pqt 3 +2pqt+p 2 et Dén(u)= −pqt 4 −2q 2 t 3 +2q 2 t+pq. Et u = p . q  inscrit dans le

L’invariance visée est établie. Le rayon du cercle triangle A i OA i + k est indépendant dei.

Exemple : intéressons-nous aux triangles A i OA i+2 . · · Si l’on pose A 1 OA 2 =a et A 1 OA 3 =a′′, ′′ 2 + 2 tan a +2 r s rs tan a = 2 . 2 2rstan a +r 2 +s 2 2 Les coefficientspetqde l’étude précédente sont respectivementr 2 +s 2 et 2rs. Le rayon du cercle inscrit dans le triangle A i OA i+2 est R h avec r 2 +s 2 . =u= 1+u 2rs R= h = h2rsh2rs = = . 1+u 1+ r 2 +s 2 2rs+r 2 +s 2 h 2rs Avec, par exemple comme ici,h=10,4 cm etr=1,2 cm, on trouve R=2,1 cm. O

h

s

r H A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 Autres solutions : Jean-Claude Carréga (L yon), Marie-Laure Chaillout (Épinay/Orge), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisan), Pierre Renfer (Ostwald).

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