Exercice N°120: Fonctions continues sur un intervalle

Description

⌊⋆⌊⌋⋆66⌋ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Fonctions continues sur un intervalle √ √ √ + + Continuit´e, prolongements par continuit´e 1. Montrez que∀(x,y)∈ R ×R , x+y≤ x+ y. D´eduisez-en que p √ Exercice 1 : Etudiez la continuit´e des fonctions suivantes : √ + + ∀(x,y)∈ R ×R , | x− y|≤ |x−y|  + x 2. Montrez que f est uniform´ement continue sur R .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

tinuConp,ortie´meneolgnonrcpats´eitnuti

Fonctions

Exercice 1 :untie´edlzcanoitnssuivansfonctio:seteidutE

1.f(xlnexx+−xsisii10sxx>x=<000
x) =

2.f(x) =(ln(1x+x0sisi)x>x00=
exp
3.f(x) =1−1xsi0sixx≤>11

continues

Exercice 2 :alzetnociuniee´tEditulonoegemtnpsraoctl’existencedeprt´uiinnte
des fonctions suivantes :

1.f(x) =x21+3x+ 2 six∈Df
2.f(x) = 1x2exsix6= 0
−ex
3.f(x) = cosx2−si1x6= 0
x

Exercice 3 :nction`erelafonOocsndif:R→Rrapeinfie´d
∀x∈R f(x) =⌊x⌋+px− ⌊x⌋

Montrez quefest continue surR

esnnietztC´oenutinuirme,nifoitnoofcncsihLspi
Exercice 4 :Montrez que la fonctionf:R+→Rinperad´efi∀x∈R+,f(x) =x2
n’estpasuniforme´mentcontinue.

Exercice 5 :Montrez que ln :R+⋆→Rn’est pas uniformement continue.
´

Exercice 6 :Soit
f(x) =√x.

f:R+→Rnfie´apei´rrad,eerlnracinecafonctio∀x∈R+

1

sur un intervalle

Semainedu12aoˆut2011

1. Montrez que∀(x y)∈R+×R+√x+y≤ √x+√yeedui.D´enqusez-
∀(x y)∈R+×R+|√x− √y| ≤p|x−y|

2. Montrez quefseruorm´ementcontinutsefinuR+.
3.f ?est-elle lipschitzienne

Exercice 7 :Soitf:R+→Rtconemenorm´unifitnoofcnuenunitruseR+. Montrez
quefffine.notcoianperanufeajtm´eores

Exercice 8 :Soientf gdeux fonctions continues de [−11] dansR.
Ond´efinitpourtoutx∈Rla fonction
M(x) =t∈s[u−1p1]f(t) +x g(t)

1. Montrez queM:R→Rnfiei.e´dneibtse
2. Montrez que∀h≥0,∀x∈R,M(x+h)≤M(x) +hsupg.
[−11]
3. Montrez que∀h≥0,∀x∈R,M(x+h)≥M(x) +h[i−n1f1]g.

4. En deduire queM:R→Rest continue.
´

dselofsemadnatnet´´efoesPrriopontinuesnctionsc

Exercice 9 :Soitf:I→Zretninuruseunitncoontincfoneunasursdvalee,`avall
Z. Montrez quefest constante.

Exercice 10 :Soientf g:I→R⋆deux fonctions continues non nulles sur un
intervalleItelles que∀x∈I,|f(x)|=|g(x)|. Montrez quef=gouf=−g.

Exercice 11 :Soitf: [01[→Rpaiefin´endioctonlfar
∀x∈[01[ f(x) =xsin11−x

1. Calculez pour tout entier naturel l’image parfdexn= 1−(4n21)+π
yn= 1−(4n+)32π.
2.D´eduisez-enf([01[).

et

Exercice 12 :Soientf: [a b]→Rune fonction continue telle quef(a)6=f(b),u
etvbromxneulseer´esdtpenitosristemctqzerli’u.sfitnoMexistec∈]a b[ tel que

uf(a) +vf(b) = (u+v)f(c)

Exercice13:The´ore`mesdepointsfixes
Soitf: [a b]→[a bitcn´dnoinfieruseinunrvtelealabstel.enofu]
1. On suppose quefrtnome´Deli’uqzeestxiestcroissante.α∈[a b] tel que
f(α) =α.
2. On suppose quefeixtsi’elezquontrDon´teimneuset.cα∈[a b] tel que
f(α) =α
.

Exercice 14 :Soitf: [01]→[01] une fonction continue telle quef(0) =f(1).
1.Montrezquel’e´quationf(x+12) =f(xtulosenu.nois`ed)posoinseaum
ationf(x+1sop)de`suae
2.mMooinntsreuznequseolputoiuorn.toutentierp≥,2’le´uqp) =f(x

Exercice 15 :Soitf:R→Rrapeinfie´d∀x∈R,f(x) = ln(1 +ex).
1. Montrez queftiecdeonunseijebaeil´rRsurf(R).
2.De´terminezf(R) etf−1.

Exercice 16 :Soitf:R→Rofal´dnoitcnarepniefi∀x∈R f(x 1) =x.
+|x|
1. Montrez quefjibeitceednor´seunealiRsurf(R).
2. Explicitezf(R) etf−1.

Exercice 17 :eralofcnitnoOnconsid`ef:R+⋆→R.
x7→x−2 + lnx
1. Montrez queferlae´euisbinectjendioR+⋆surR. Etudiez l’application
r´eciproquegdefe.esauxborie,limittnreavllendslei’noc:´eitnutionoton,m
2.Montrezquel’e´quationf(x) = 0 admet uneunique solutiondansR+⋆,
noteeα.
´
3. Etudiez la limitexl→i+m∞f(xxD.)ude´zesine-t→li+m∞f(gg((ttnt))p)iuus´nqeiuavel
degau voisinage de +∞.

Exercice 18 :Soitf:R+→Rune fonction continue
´
xl→im+∞f(x) =ℓ. Montrez quefest bornee.

Exercice 19 :

etℓ

∈Rtelles que

Soitf:R→Rune fonction continue. Etudiez limf(sinx.)
x→+∞x

2