Exercice N°126: Calcul matriciel

Description

⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Calcul matriciel 2 3 k Op´erations sur les matrices 1. Calculez J et J . En d´eduire les puissances successives de J : J , k≥ 3. 2. On pose T = 2I +J. Exercice1: Soit(λ ,...,λ )unn-upletdescalairesdeux`adeuxdistincts.Onnote 1 n n Donnez l’expression de T pour tout entier n∈ N. D = Diag(λ ,...,λ ). D´eterminez les matrices deM (K) qui commutent avec D. 1 n n 3. On consid`ere les suites (a ) , (b ) et (c ) d´efinies par les rela- n n∈N n n∈N n n∈N Exercice 2 : Soit E le sous-ensemble de M (K) form´e des matrices de la forme tions de r´ecurrence : 2  a+b b 2 A = , avec (a,b)∈ K .  a = 2a n n−1 −b a−b b = 2a +2b ∀n≥ 2 n n−1 n−1 1. Montrez que (E,+,×) est un sous-anneau commutatif deM (K).  2 c = b +2c n n−1 n−1 2. D´eterminez les diviseurs de z´ero de E. Utilisezlesr´esultatsdesquestionspr´ec´edentespourd´eterminerlesexpressions 3. D´ ses ´el´ements inversibles. de a , b et c en fonction de a , b ,c et de n. n n n 1 1 1 Exercice 3 : Donnez une condition n´ecessaire et suffisante pour que le produit de 1 1 deux matrices sym´etriques soit encore une matrice sym´etrique. Exercice 7 : On consid`ere la matrice A = . 0 2 2 1. Calculez P(A), ou` P est le polynˆome P(X) =X −3X +2. Calcul des puissances n 2 3 4 n 2. Soit n ≥ 2. D´eterminez le reste de la division euclidienne de X par P. Exercice 4 : Calculez A ,A ,A puis A dans les cas suivants : n D´eduisez-en l’expression de A .     1 0 1 1 1 1 −1 3.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MPSILyc´eeRabelias

rlesnssuicesmatrOre´poita

Calcul matriciel

Exercice 1 :Soit (λ1     λn) unnsiitcnst`xdauedx.Onnotepl-ulacsedteuedseria
D= Diag(λ1     λnee´D.mret)riatsdceezinsmleMn(K) qui commutent avecD.

Exercice 2 :SoitEle sous-ensemble deM2(Kofalemredm´maesictrdeesor)f
A=a−+abbb−b, avec (a b)∈K2.
1. Montrez que (E+×) est un sous-anneau commutatif deM2(K).
2.D´eterminezlesdiviseursdez´erodeE.
3.De´terminezseselementsinversibles.
´ ´

Exercice 3 :Donneanffissuetreaisscee´nnoitidnocenuzitdeorudleperuuqetop
deuxmatricessyme´triquessoitencoreunematricesyme´trique.

Calcul des puissances
Exercice 4 :zeCalculA2 A3 A4puisAndans les cas suivants :
−
A=0011 A=100010110 A=111111111

110011

1
Exercice 5 :On consid`re la matriceA=00
e
1. CalculezA2etA3.
2. Montrez que pour tout entiern∈N,Ansslouetcs’r´i:meoraf
An=100an01bann1

3.D´eterminezlesrelationsdere´currenceve´rifi´eesparlessuites(an) et (bn) puis
ende´duirel’expressiondeAnen fonction den.
4. SoitB=A−I. CalculezBnpourn∈Nunauuired´ed.Enlacelucmertdedo
n
deA.
0 0 0
Exercice 6 :Onriceserelmstaocsndie`I=1000100J=2000
0 1 0 1

1

Semainedu12aoˆut2011

1. CalculezJ2etJ3esdessivuiedlere.d´EnssececcuiupsnassJ:Jk,k≥3.
2. On poseT= 2I+J.
Donnez l’expression deTnpour tout entiern∈N.
3.Onconsid`erelessuites(an)n∈N⋆, (bn)n∈N⋆et (cn)n∈N⋆lrseseap-erald´niefi
tionsder´ecurrence:
a
∀n≥2bcnnn2==2=aann−−11+2bbnn−−11+2cn−1

Utilisezlesre´sultatsdesquestionspr´ece´dentespourd´eterminerlesexpressions
dean,bnetcnen fonction dea1,b1,c1et den.
Exercice 7 :malaictreocnOdisnere`A=0211.
1. CalculezP(A,o`u)PestlepolynˆemoP(X) =X2−3X+ 2.
2. Soitn≥eretD´2.siondivieidienenuecdllzreimenedalseetXnparP.
D´eduisez-enl’expressiondeAn.
3. Montrez queAest inversible et exprimezA−1nyoˆemedocmmpeloA.

clvesyesLnaieqe´’itaue`tsdsemnie´nolssiaer
2 0
Exercice 8 :SoitA=2001
1 2 0 .

1.Re´solvezlesyst`emeA×X= 0.
a
2. A quelle condition sur (a b cl,)syseme`teA×X=bc ?est-il compatible

Exercice 9 :fne,zevlose´Re(iondoncta b c)∈R3le systeme
`
 +32 2z=a
(S)xx+−yy=bDude´cieuelamatrisez-enqM=
−x+2y+z=c
32122est inversible et donnez son inverse.
1−1 0
−1
Exercice 10 :

1. Calculez l’inverse de la matriceM=31−12−11.
2−4 5
2.De´duisez-enlessolutionsdessyst`emes
−z 3= 5x+2y−z
3xx+−2yy+5+zz==−132xx−−4yy++5zz===−321
2x−4y

Inversibilit´
e

Exercice 11 : Si oui, inversez-les !Les matrices suivantes sont-elles inversibles ?
A=−2111−111B=−212310−−112C=112−220−431
0 1

Exercice 12 :cieamrteraldie`consOnA=011−111110.
1. CalculezA3−3A2+ 3A−I.
2.End´eduirequeAest inversible et calculez son inverse.

Exercice 13 :SoitA= (aij)∈ Mn(Cmidontme-anogaidaetirtsel)uneice`matr
nante :
∀i∈[1 n]]|aii|>X|aij|
i6=j
1. Montrez queA∈GLn(Cetn´iaudlentmset`seye)A×Xuo`0,=X∈ Mn1(C).
2.Meˆmequestionavecl’hypothe`seque
∀j∈[1 n]]|aii|>X|aij|
i6=j

Exercice 14 :nezlesvaD´etermiramae`rtelrudspuxelpmoceeλ∈Cpour lesquelles
la matrice
3 +λ4−5 +−4λ−2204
Aλ=00+003λ0−1 +−λ2
n’est pas inversible.

ppilacitnosA

Exercice 15 :Onconsid`eeralustiree´leel(un)n∈Ndalr´nnoedeesesd´efiniepa
premiers termesu0etu1ltraeoidnletacurrer´e:ence
∀n∈N un+2= 3un+1−2un

2

O
m

nseproposedecalculerl’expressiondestermesdecettesuiteparuneme´thode
atricielle.
1. SoitAla matrice13−02. Montrez que pour tout entiern∈N,
n+1+ 2
An=2n+21−−11−2−2n+ 2
n
2.V´erifiezque∀n∈Nuunn2+1+=A×un+1
un
3.End´eduirel’expressiondeunetvnen fonction den,u0etu1.
4.Retrouvezcer´esultatparlame´thodehabituelle.
ercice 16 :Soitx∈R⋆etA=110x21xxx02
x0x
1.Montrezqu’ilexistedeuxre´elsλetµtels que (A−λI)×(A−µI) = 0
2.Ende´duirequeAest inversible et calculez son inverse.
3. Montrez que pour tout entiern∈N, il existe (αn βn)∈N2tel que

Ex

n
A=αnA+βnI

4.Ond´efinitlessuitesuetvpar∀n∈N un=αn−βnetvn= 2αn+βn
Montrez que les suitesuetvues.End´om´etriqespxerssdeiuerelnsioe´gtnos
deunet devnen fonction den.
5. Exprimezαnetβnen fonction denet explicitezAn.

Exercice 17 :ussesetiee´rsellnconOerelsid`uetvefid´esnirlpadano´neeedelrus
premiers termesu0etv0:ecnerruce´redsontilareestle
−
∀n∈Nuvnn1+1+=6=uunn+4vnn
v

1.De´montrezqu’ilexisteunematriceA∈ M2(R) telle que
∀n∈Nuvnn1+1+=A×uvnn

2.Montrezquel’onpeute´crireA= 5I+Ju`oIltsetamat´titeecerienidJest
unematricequevousd´eterminerez.
3. CalculezAnpour tout entiern∈N.
4.D´eduisezdelaquestionpr´ece´dentelesexpressionsdeunetvnen fonction de
n.