Exercice N°136: Courbes planes paramétrées

Description

´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Courbes planes param´etr´ees (II) ´ Longueur d’arc Etude locale t t e te Exercice 6 : Calculez les longueurs des courbes suivantes : ~ Exercice 1 : Soit Γ l’arc param´etr´e par f(t) = , . 3 t+1 t+1 3 ~ 1. f(t) = acos t,asin t , pour t∈ [0,2π] et a> 0 (astro¨ıde) 1. Donnez le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 des fonctions x(t) et y(t) au voisi- ~ 2. f(t) = t−sint,1−cost , pour t∈ [0,2π] (arche de la cyclo¨ıde) ~ nage de 1. D´eduisez-en la formule de Taylor vectorielle de f(t) = x(t),y(t) 2 ~ au point de param`etre 1. 3. f(t) = 2pt ,2pt , pour t∈ [a,b], et p > 0 (parabole) (p) (q) 2. D´eterminez p et q avec p 0. 2 ~ R . Explicitez f(t) dans cette base. (n´ephro¨ıde) 3. Quelle est la nature du point M(1)? Exercice 7 : Calculez les longueurs des courbes suivantes : Exercice 2 : Pour chacune des courbes param´etr´ees suivantes, d´eterminez l’allure 1. ρ =a(1+cosθ), pour θ∈ [0,2π] et a> 0 (cardio¨ıde) locale au voisinage du point M(0) : 3 2. ρ = cos (θ/3), pour θ∈ [0,3π/2]. ~ 1. f(t) = t,ln(1+t) + ~ bt bt 1 Exercice 8 : Soit Γ la courbe param´etr´ee par f(t) = ae cost,ae sint , t∈ R 4 ~ 2. f(t) = ,ln(1+t 1−t ou` a> 0 et b 0. ´ Etudiez, suivant la valeur de λ le nombre de points d’inflexion. 1 ′′ 2. la chainette d’´equation y = chx 1. Pr´ecisez l’ensemble de d´efinition et ´etudiez bri`evement cette courbe. 2 2 ´ x y 2. Etant donn´e un point de param`etre t, on note N l’intersection de la tangente 3.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Courbes planes

´
Etude locale
t
Exercice 1 :parc’aΓlr´etm´rarapeoStif(t) =te+ 1 t t+et1.
~
1.Donnezled´eveloppementlimite´a`l’ordre3desfonctionsx(t) ety(t) au voisi-
nagede1.D´eduisez-enlaformuledeTaylorvectorielledef~(t) =x(t) y(t)
aupointdeparam`etre1.
2.D´eterminezpetqavecp < qde sorte quef(p)(1) f(q)(1)soit une base de
2E~tte base.
R. xplicitezf(t) dans ce
3. Quelle est la nature du pointM(1) ?

Exercice 2 :cunedescPourcha´e,desntvauissee´rte´marapsebruouler’llanizeetmr
locale au voisinage du pointM(0) :
f~(t) =tln(1 +t)
1.
~1 (1 +t4
2.f(t) = 1−t ln
3.f~(t) =t−sintsin(t7)
4.f~(t) =√1 +t2 t−sht

Exercice 3 :erulla’lzenieesste´rar´mseapterm,d´entesuivaouPahcrenuccsedbruo
locale au voisinage du pointM(1) :
~=et−1−t33t
1.f(t) t−
2.f~(t) =3t−t3 t2+t12
3.f~(t) =t3−3t+ 2√t−21−12t

Exercice 4 :´tramausvie´seedesacunbespcourhcruoPselzniopstteand´s,eretnemi
e r
stationnairesetpr´ecisezl’alluredelacourbeauvoisinagedecespoints:
1.f~(t) =t−sht1cht
2.f~(t) =3t−t32t2−t4
3.f~(t) =t2+t4 t2+t5

Exercice 5 :Soitλ∈RelacourbeoΓnsid`erO.cnλiepard´efin
~=t−λs ost
f(t) int1−λc

´
Etudiez, suivant la valeur deλle nombre de points d’inflexion.

parame´tre´es(II)

1

Longueur d’arc

Semainedu12aoˆut2011

Exercice 6 :Calculez les longueurs des courbes suivantes :
1.f(t) =acos3t asin3t, pourt∈[02π] eta >0 (astro¨ıde)
~
2.f~(t) =t−sint1−cost, pourt∈[02πherc(a]ıcdloc¨ylaed)e
3.f~(t) =2pt22pt, pourt∈[a b], etp >0 (parabole)
4.f~(t) =a(3 cost−cos 3t) a(3 sint−sin 3t), pourt∈[0 π] et
(ne´phro¨ıde)

Exercice 7 :Calculez les longueurs des courbes suivantes :
1.ρ=a(1 + cosθ), pourθ∈[02π] eta >0 (cardio¨ıde)
2.ρ= cos3(θ3), pourθ∈[03π2].

a

>

0.

Exercice 8 :aramrbepacoSuoitΓlrae´pee´rtf~(t) =aebtcost aebtsint,t∈R+
ou`a >0 etb <0.
´
1.EtudiezΓenvuedelarepre´senter.
2.D´eterminezl’abscissecurvilignesdigeno’irM(0).
3. Montrez ques(t) admet une limite finie quandttend vers +∞re.nE´ddeiu
que Γ est de longueur finie.

euoCrubr

Exercice 9 :Dneonottuerneurbulacoz-enuisede´dteerialugnanioatinrmte´eadzl
pointre´gulierdescourbesparame´tre´essuivantes:
1.f~(t) =cos3tsin3t,t∈[0 π)a(]2edı¨orts
2.f~(t) =t−sint1−cost,t∈[02π] (cyclo¨ıde)
3.f~(t) =3 cost+ 3 cos 2t+ cos 3t3 sint+ 3 sin 2t+ sin 3t

Exercice 10 :alrieeDdotnen´euzdlsaidz´eeterminationangutuonl-eouacurrbntee
pointre´gulierdescourbesparame´tre´essuivantes:
1.ρ= (1 + cosθ), pourθ∈[02πdrac(]oiı¨ed)
2.ρ= cos3(θ3), pourθ∈[03π2].

Exercice 11 :Calculez la courbure en tout point des courbes suivantes :
1.laparaboled’e´quationy2= 2px, avecp >0.

2.lachainetted’e´quationy= chx
3.l’ellipsed’e´quationax22+by22= 1, aveca b >0.

´
tudescomElpe`ets
´
Exercice 12 :etezprreEditucselbruoese´zetntes:ivanessu
1.x(t + 1) =tt2;y(t +) = 2t3
1 +t2
2.si2ncθosθ.
ρ1=−

´
Exercice 13 :fieinperaarep´eam´etrd´eΓtEeiducalzbruo
f~(t) =t22t  t2+t12
−
Vousmontrerezqu’elleposs`edeunpointdoubleetunpointderebroussementde
rei`ere`
p m espece.

oenasusiMllec
~se2
Exercice 14 :Soit Γ = (I f) un arc de clasCa`elage´etnatsncorebuurcode
C∈R.
1.D´eterminezsuccessivementunede´terminationangulaireα(s), le vecteur tan-
~
gentunitaireorient´eT(s) et finalementf(s).
2.End´eduirequelescourbesa`courbureconstantesontlesdroitesetlescercles.

Exercice 15 :rcparl’tΓoiSape´rte´marapnal

f~(t) = (cos3tsin3t)

1. Calculez la longueur de la courbe.
2. Calculez le rayon de courbureR(t) au point courantM(t).
3.De´terminezlescoordonn´eesducentre de courbureI(t)dfin´earipaleralitno
vectorielle→−−→
−−−−−
M(t)I(t) =R(t)N(t)
´
4. Etudiez la courbe Γ′ebolinimtelopeparcritd´eI(t´ppoedeed´eeelevap),l´pe
Γ.
5.Parquelletransformationge´ome´triquesimplelacourbeΓ′t-elledesed´edui
Γ ?

Exercice 16 :ioSnplaamarl’tΓcparre´ape´rt

~
f(t) = (ln(tant2) + costsint)

2

1.Pre´cisezl’ensembledede´finitionet´etudiezbri`evementcettecourbe.
´
2.Etantdonn´eunpointdeparame`tret, on noteNl’intersection de la tangente
a`ΓenMet l’axe des abscisses. Montrez que la longueur du segment [M N]
estinde´pendantedet.
3.Parame´trezlade´velopp´eedelarestrictiondeΓa`]0 π2[.

Exercice 17 :Soit´rterape’aΓlplrcpaanm´ra
f~(t) =2Arctantln11−+tt22

1.Donnezune´equationcarte´sienney=f(x) de cette courbe.
2.D´eterminezsad´evelopp´ee.

Exercice 18 :SoitMintbunpo(0)nO.Γedreiluge´ri(tenoT0 N0) le repere de
`
Frenet au pointM(0),R0etI0le rayon et le centre de courbure au pointM(0).
`
1.Al’aidedelaformuledeTaylor-Youngvectorielle,de´terminezlescoordonn´ees
deM(seFednerente)adsneler`preM(0) :
M−−(0−)−M→(s) =τ(s)T→−(0) +ν(s)−→
N(0)

Donnezund´eveloppementlimit´ea`l’ordre2deτ(s) etν(s) au voisinage de
0.
2. SoitP(s) le cercle de centreI0et de rayon|R0|´eamarprpa´etr
I0P(s) =R0sinsR0T0−cossR0N0

3.

Donnezunde´veloppementlimit´ea`l’ordre2auvoisinagede0descoordonn´ees
du vecteurM0P(s) dans la base de Frenet (T0 N0).
−−
D´eduisezdesquestionspre´c´edentesquekP−(−s−)M(−s→)k=o(s2).

Exercice 1 .—

Exercice 6 .—

Exercice 7 .—

Exercice 18 .—

Correction des exercices

3