Exercice N°139: Fonctions de deux variables

Description

6666666666′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Fonctions r´eelles de deux variables  2 2 x y  Topologie du plan , si (x,y) = (0,0) 2 2 2 2. ∀(x,y)∈ R f(x,y) = x +y 2  Exercice 1 : Pour chacun des sous-ensembles de R qui suivent, dire s’ils sont 0 si (x,y) = (0,0).  ouverts, ferm´es, born´es! xy  p , si (x,y) = (0,0) 2 2 2 2 2 1. {(x,y)∈ R | 1≤|x−1| 0, on consid`ere, dans R les parties On noteD ={(x,y)∈ R x (x,y)+y (x,y) = 0 2 2 2 2 2 2 ∂x ∂y R |x +y 0, 1 R ×R→ R de classe C , solutions de l’´equation aux d´eriv´ees partielles : x x x f(x,y)dxdy≤ f(x,y)dxdy≤ f(x,y)dxdy ∂f ∂f y (x,y)−x (x,y) =f(x,y) √ D C D R R 2R ∂x ∂y Z √ Z √ R ∞ 2 2 π π u = x −x −x 2. D´eduisez-en que lim e dx = . On notera e dx = . Exercice 15 : A l’aide du changement de variable , r´esolvez v = −x+y R→+∞ 2 2 0 0 l’´equation aux d´eriv´ees partielles : Exercice 20 : Z ∂f ∂f 1 xdy (x,y)+ (x,y) =f 1. Montrez que ∀x∈ [0,1],ln(1+x) = . ∂x ∂y 1+xy 0 Z 1 ln(1+x) u = 2x+y 2. D´eduisez-en la valeur de dx. Exercice 16 : A l’aide du changement de variable , r´esolvez 2 1+x v = 3x+y 0 2 ′′⊲⊲◮′6⊲′′⊔◮ Correction des exercices 1 1 ′′ ′′ Exercice 9 .— On note Ω l’ouvert Ω ={(x,y) | x = y} et D le droite d’´equation 2 limite suivantD Commef est de classeC surR, on a lim f (x) = f (a), 2 x→a 2 2 y =x de sorte que R = Ω D. autrement dit 2 1 Montrons que f est de classe C sur R . Comme souvent l’´etude est d´ecoup´ee en deux parties : ∂F ∂F 1 ′′ 1 lim (x,y) = (a,a) = f (a) • Dans Ω.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

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Extrait

MPSILyc´eeRabelias

Fonctionsre´elles

Topologie du plan
Exercice 1 :Pour chacun des sous-ensembles deR2qui suivent, dire s’ils sont
ouverts,ferme´s,borne´s!
1.{(x y)∈R2|1≤ |x−1|<2}3.{(x y)∈R2|xy <1et 1< x <2}
2.{(x y)∈R2|y= 3x2+ 2}4.{(x y)∈R2|x≥0 ety= 4x−8}

unite´tionC

Exercice 2 :sausvinast´,teduDanschacundesc0(neonaczlie´eitnuti0) de la
fonctionf:R2→Raprfinied´ef(00) = 0 et pour tout (x y)∈R2 {(00)},
1.f(x y) =x2x2+yy23.f(x y () =x2x+3yy22)2
2.f(x y) =x4y4.f(x y) =xe2xy+−y21
x4+y6

Exercice 3 :n´cetdienluaifotontioznlacdueitEf:R2→Rinpe´dfiera:
1.∀(x y)∈R2 f(x y) = (1 +x2)cosy
1−cosxy
2.∀(x y)∈R2f(x y) =2
x2y2sisiyy60==0

´Dv´ripseeitraelleof,sssecealnodscnitC1
e

Exercice 4 :sedecnetsixe’lzeiertpaes´eiverd´tudiEnotcoisnllseedfsntetquisuive
calculez-les
1.f(x y) =px2+y2
2.f(x y) =xy
s2+y2si (x y)6= (00)
3.∀(x y)∈R2f(x y) =0xin(x3yis()x y) = 0
∀(x y)∈R2f(x y) =(ni0xysiisxx6=00=
4.x2s

Exercice 5 :Les fonctions suivantes sont-elles de classeC1?
1.∀(x y)∈R2f(x y) =0x2ysi (x y(=)00(=0))0
x2+y2si (x y)6

de deux variables

1

Semainedu12aoˆut2011

2
2.∀(x y)∈R2f(x y) =x2x+y2y2si (x y)6= (00)
 (0 six y) = (00)
3.∀(x y)∈R2f(x y) =px2xy+y2s
is0(i(xxyy))60(=(0=00))

Exercice 6 :Soitf:R2→Rniefid´ontincfolarapef(00) = 0 etf(x y) =xx32−+yy32
si (x y)6= (00).
Montrez quefllsetreie’llteuqconteestentoinuetnioptusopde`sesederd´´eivpaes
deR2.
Montrez quef’la`rdromilte´tipploenemedsdve´enep1aeent(d0m’a0).

Exercice 7 :Soitf:R2→Ralraepniefid´ontincfof(00) = 0 etf(x y) =
x5
(y−x2)2+x6si (x y)6= (00).
~
Montrez quefesederd´´eivdiessopde`s0ertcoinnleeles(n0) suivant tout vecteurU.
Montrez quefadn’deastpmee`almit´re1en’(o0rdlepo´dvetnilepem0).
Indication :re´ersndiocf(x x2)

Exercice 8 :Soitf:R→Rcontinue etner.Ond´eunentinfitiGn:R→Rpar :
( fx y(t)×(x
Gn) =Z0y−n!t)ndt
1. Montrez queGnest continue surR2.
2. Montrez queGnest de classeC1.

Exercice 9 :Soitf:R→Rune fonction de classeC2infiea’ltilppitacon.Ond´
F:R2→Rpar
f(x)−f(y)isx6=y
F(x y) =f′(x) six=y
x−y
Montrez queFest de classeC1
.

Exercice 10 :noifaletcnosionerd`ncOf;R2→Rpard´efinie
f(x y=)0=x3y3sin(1x) sin(1yi)sisxyyx60==0
f(x y)

1. Montrez quefest continue surR2.
2. Montrez quefdaesd´metd´eeserivtraplleinesetuotinpoetdR2, que vous
expliciterez.
3. Montrez quefest de classeC1surR2
4. (a) Justifiez quefest de classeC2surU={(x y)∈R2|x6= 0ET y6= 0},
etd´eterminezlesd´eriv´eespartiellesd’ordre2surU.
(b) Montrez quefn’est pas de classeC2surR2.

Exercice 11 :Soient Ω un ouvert convexe deR2contenant deux pointsAetB, et
f: Ω→Rune application de classeC1nome´D.oinpntzerti’uqixeluetsC∈[A B]
tel que
−−
f(B)−f(A) =B−A|gra→df(C)

Recherche d’extremum

Exercice 12 :ruse´dnoinfielippticasdum’aelueseitiqr´emtextnizeetmrstrcopni´eD
R2par
1.f(x y) = (x−y)2+x3+y34.f(x y) = (x−y)2+ (x+y)3
2.f(x y) = (x−y)2+x4+y45.f(x y) =x2+y2−x3
3.f(x y) =x3+y3−3xy6.f(x y) =x4+y4−2(x−y)2

quatEdxuasnoiee´vire´eltiarspsle
Exercice 13 :nEapssnaetncoordonn´eespoleria´d,sreteenimeszlncfoontisf
R+⋆×R→Rde classeC1’le´snedtuois,loiverd´uxnaioatqu:selleitrapsee´

x∂∂fx(x y) +y∂f∂y(x y) = 0

:

Exercice 14 :nsioctonmrete´d,fselzenienntorconpEsaasalopserinnodsee´f:
R+⋆×R→Rde classeC1tiarleels:uanoe´dx´virpseesdeltionuati’´eqosul,

∂
∂fx(x y)−xf∂y∂(x y) =f(x y)
y
lE’´xercice 15 :elbairavedtnemgeanchdudeail’Asell:paesierterd´´eivuv==x−x+ysolv,r´eze
equation aux

∂∂fx(x y) +∂f∂y(x y) =f

Exercice 16 :A l’aide du changement de variable



u3=2xx++yy, resolvez
´
v=

2

l’´equationauxd´erive´espartielles:

∂f
∂x(x y)−3f∂y∂(x y) = 0

Exercice 17 :pnEonrdooxcauntsaasedblfoes-ncn´eespolaires,d´tereimenlze’snme
tions de classeC1surR2iertpaesesllsionsolut´equdel’anxutaoivie´´dre

blouesargedsel´tnI

∂f
y∂x(x y)−xy∂f∂(x y) = 0

Exercice 18 :oublessuegralesdlzseni´tClaucel:setnavi
1.I=xxy dx dy`u,oD={(x y)∈R2|x y≥0 etx+y≤1}.
D
2.I=xyx2dx dyuo`,D={(x y)∈R2|x≤1 y≥0 ety2≤x}.
D
3.I=xsin(x+y)dx dyo,u`D={(x y)∈R2|x y≥0 etx+y≤π}.
D
4.I=xcos(x2+y2)dx dy`u,oDest le disque de centreOet de rayonR.
D
2
5.I=xx+xp+x2y2+y2dx dy,o`uDadsnidedtrauqeltseusclin´eitunuesq
D
+ +
R×R.

Exercice 19 :SoitR >ad,esnisnore`d0,oncR2les parties On noteDR={(x y)∈
2
R2|x2+y2< R2},CR={(x y)∈R2|max{|x||y|}< R}´dnO.tinfief:R→R
parf(x y) =e−(x2+y2).
1. Montrez que pour toutR >0,
xf(x y)dx dy≤xf(x y)dx dy≤xf(x y)dx dy
DRCRD√2R
2.De´duisez-enqueRl→i+m∞Z0Re−x2dx=√2π. On noteraZ0∞e−x2dx=√2π.

Exercice 20 :
1. Montrez que∀x∈[01]ln(1 +x) =Z011x+xydy.
2.D´eduisez-enlavaleurdeZ10ln(1++1x2x)dx.

Correction des

Exercice 9 .—On note Ω l’ouvert Ω ={(x y)|x6=y}etDdrleteoi´ed’atqunoi
y=xde sorte queR2= Ω⊔D.
Montrons quefest de classeC1surR2Co.esmmveou’ltnute´seede´dtcoup´eeen
deux parties :
•Dans Ω.Fest de classeC1memmcotneitouqselletedtionfoncsr`es.Lelgse
de calcul donnent pour (x y)∈Ω,

∂ f(y)−f( (x)−f(y)−f′(y)(y−x)
∂F(x y () =yx)−−xf)′(2x)(y−x)ety∂F∂(x y) =f
x(x−y)2

Rq :ee´uqnztouaerusvoF(x y) =F(y x’o`u),d∂F∂x(x y) =∂F∂y(y x)
•SurDeustlinuiconter´et´enl,e’ixtstraplleiteseruelceend´deiveres´e
d’op´tionsalg´ebriques.
era
◮ointdelesenunppsraitlee´ir´veetsixedsedecneD
SoitA= (a a)∈Dedeiellpart´veee´irnudede’eisexncteudetl’ie´nO.F
rapporta`xeellietridm`sailonunecs,qoolraecruop,xtend versade :

F( fx a(x)−fa(a)−f′(a)
)−F(a a)x−
=
x−a)x−a
f(x)−f(a)−(x−a)f′(a)
=
(x−a)2

pas

par

Orfest de classeC2surR,odcn’dpa`rsealformule de Taylor Young,
f(x) =f(a)−(x−a)f′(a(+)21x−a)2f′′(a) +oa(x−a)2
Il en r´ lt ue
esu e q
xli→maF(xax)−−Fa(a a) 1f′′(a)
=
) 2
Finalement,onabienexistencedesd´erive´espartiellesdeFpa`torppraarx
etparrapport`aye)t(parsym´etrie

∂∂Fx(a a)1=2f′′(a) et∂yF∂(x y21=)f′′(a)

◮ocnitnedtniopenunllesrtieespavie´´dredeseiu´tD
SoitA= (a a). On montre que∂∂Fxest continue enAitd’´eta.Ils’agrilb
(xy)li→m(aa)∂F∂x(x y) =∂x∂F(a a12)=f′′(a)

3

exercices

⊲limite suivantDCommefest de classeC2surRilm21o,anf′′