Exercice N°223: Suites numériques

Description

⋆⋆⋆⋆⋆ Exercices d’approfondissement √ + Exercice 18 : Soit u la suite d´efinie par u ∈]0, 2/2[ et la relation de r´ecurrence 3.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Exercice 18 :

Exercices d’approfondissement

Soituasletiufie´dpeinrau1∈]0√22arel[etldnretaoirrnee´ucce

⋆
∀n∈N un+1=un−2un3

1. Etudiez la suiteu(monotonie et convergence).
2. On pose pour tout entiern∈N⋆,wn=21− q1 Montrez
un+1u2n. ue (wn) est
convergente vers 4.
3. Utilisez lemC´e`deeaorre´seth`olbatuqriepo´eurun∼2√.1
n

Exercice 19 :Soit (un)alustidee´nfirpaieu0∈R⋆et∀n∈N un+1=un+un2.
1. On suppose queu0∈]−210[. Montrez queun∼ −n.1
2. On suppose queu0>Mo0.rentiepartidee´nfiqzeualusvnln2=unnconverge
versunre´elλ. Montrez que∀n∈Nlnun≤2nλ≤ln(1 +unz-enuiseD´ed).
un´equivalentdeun.
− −
3. On suppose queu0∈]∞12ennDo[.uqe´nuzedtnelaviun.

Exercice20:ApplicationdeC´es`al’´etuded’unesuitere´currente
aro
Soit (unusti)alparfinieed´eu0∈R⋆et∀n∈N un+1=un+u2n.
1. On suppose queu0∈]−210[. Montrez queun∼ −1n.
2. On suppose queu0>.0laueitsuntMozqreiefin´eedrpavn2ln=nunconverge
versunre´elλ. Montrez que∀n∈Nlnun≤2nλ≤ln(1 +un-zesneD´).uied
une´quivalentdeun.
3. On suppose queu0∈]− ∞−21etdenalviuqe´nuzennoD.[un.

Exercice 21 :parlfinieed´esuitzealutid1E.ednodaee´nu0∈Ret la relation
dere´currence:
1 +u2n
=
∀n∈Nun+12

2Etudiezlasuited´efinieparladonne´edeu0∈Rontir´delaetlare:erucecner
.

∀n∈N

(1 +un)2
un+14=

8

3.Etudiezlasuitede´finieparladonne´edeu0∈R+⋆noed´rceruercn:eitaleralte

∀n∈N

u3n+ 3un
un+13=u2+ 1
n

4.Etudiezlasuited´efinieparladonneedeu0>−1relaetlader´tioncnerruce:e
´

∀n∈Nun+1= ln(1 +un)

5.Etudiezlasuited´efinieparladonn´eedeu0∈Rercn:eed´rcerurelationetla

∀n∈N

un+1= sin(un)

6.Etudiezlasuited´efinieparladonn´eedeu0∈R:dnoie´rerrucecneletaltrae

∀n∈N

u3n+ 1
un+1=3