Exercices d'algèbre - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Polynômes : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'algèbre, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Ensembles et applications (2) Nombres réels (3) Nombres complexes (4) Polynômes. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 485
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre 

1 

POLYNOMES   Exercice 1 1) Factoriser le polynôme :P(X)=X 3 −4X 2 +5X−2 . 2) Soit un entiern≥ Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme2 . X n par le polynôme P(X ) .

Exercice 2 Soit un entiern≥2 etω =e 2iπn . SoitPle polynôme :P(X)=X n−1 +X n−2 +...+X+1. 1) Déterminer les racines dePet en déduire sa factorisation dans [X ] . n−1 1 2) En déduire le calcul de u n = ∏ (1− ω k ) , puis montrer que : k n ∏ = − sin    n kπ    = 2 n n −1 . k=1 1 2 1 3) Comparer n k ∏ − =1 1 sin    2 kπ n    et k= n ∏ n+ − sin    2 kπ n    . En déduire n k ∏ = −1 1 sin    2 kπ n    en fonction den. 1 Exercice 3  Soit n∈  On considère le polynôme* . P n (X)=(X+1) n −(X−1) n . 1) Déterminer le degré deP n et son coefficient dominant. 2) Déterminer les racines deP n  dans   et en déduire la factorisation du polynôme P n dans [X ] . 3) En déduire la factorisation en produit de polynômes irréductibles dans [X ] du polynôme : P(X)=(X+1) 6 −(X−1) 6 .

Exercice 4 (EM Lyon 2005 voie S) On considère la suite (T n ) n∈  polynômes de de [X ] définie par :T 0 (X)=1, T 1 (X)=2Xet, pour tout entier naturel n :T n+2 (X)=2XT n+1 (X)−T n (X) . 1) Déterminer les polynômesT 2 etT 3 . 2) Démontrer que, pour tout entier natureln,T n est un polynôme de degréndont on déterminera le coefficient dominant. 3) Montrer que, sin est un entier pair (respectivement impair), alorsT n  est un polynôme pair (respectivement impair). 4) Pour tout entier natureln, calculerT n  fonction de(1) enn. 5) Montrer que, pour tout entiernet tout réel θ ∈  : ]0, [T n (cosθ)= sin( si n n + θ 1)θ . 6) En déduire que, pour tout entier naturel non nuln,T n  admetn réelles, racines toutes situées dans  ]− 1,1[ , que l’on explicitera. 7) En déduire, pour tout n∈  la factorisation du polynôme* ,T n dans [X ] . 8) En déduire, pour tout n∈  la valeur de* , n k ∏ =1 nis 2(n k + π itcnof ne  1) e on dn. 9) Démontrer, pour tout entier naturelnet tout réel θ ∈]0, [  : sin 2 θT n "(cosθ)−3 cosθT n ' (cosθ)+(n 2 +2n)T n (cosθ)=0 Indication :On pourra dériver deux fois la fonction :θsinθT n (cosθ)−sin(n+1)θ. 10) En déduire, pour tout entier natureln: ( X 2 −1)T n " (X)+3XT n ' (X)−(n 2 +2n)T n (X)= 0 .

 

Exercices de Mathématiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012