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Exercices d'algèbre - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Polynômes : énoncés

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Description

Ces exercices d'algèbre, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Ensembles et applications (2) Nombres réels (3) Nombres complexes (4) Polynômes. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Publié le 01 janvier 2012
Nombre de lectures 691
Langue Français

Exrait

Algèbre 
1 
POLYNOMES  Exercice 1 1) Factoriser le polynôme :P(X)=X34X2+5X2 . 2) Soit un entiern Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme2 . Xnpar le polynômeP(X) .
Exercice 2 Soit un entiern2 etω =e2iπn. SoitPle polynôme :P(X)=Xn1+Xn2+...+X+1. 1) Déterminer les racines dePet en déduire sa factorisation dans[X] . n11 2) En déduire le calcul deun=(1− ωk) , puis montrer que :kn=sinnkπ=2nn1. k=11 2 1 3) Comparernk=11sin2kπnetk=nn+sin2kπn. En déduirenk=11sin2kπnen fonction den. 1 Exercice 3  Soitn On considère le polynôme* .Pn(X)=(X+1)n(X1)n. 1) Déterminer le degré dePnet son coefficient dominant. 2) Déterminer les racines dePn dans et en déduire la factorisation du polynôme Pndans[X] . 3) En déduire la factorisation en produit de polynômes irréductibles dans[X] du polynôme :P(X)=(X+1)6(X1)6.
Exercice 4 (EM Lyon 2005 voie S) On considère la suite (Tn)n polynômes de de[X] définie par :T0(X)=1, T1(X)=2Xet, pour tout entier natureln:Tn+2(X)=2XTn+1(X)Tn(X) . 1) Déterminer les polynômesT2etT3. 2) Démontrer que, pour tout entier natureln,Tnest un polynôme de degréndont on déterminera le coefficient dominant. 3) Montrer que, sin est un entier pair (respectivement impair), alorsTn est un polynôme pair (respectivement impair). 4) Pour tout entier natureln, calculerTn fonction de(1) enn. 5) Montrer que, pour tout entiernet tout réelθ ∈ :]0, [Tn(cosθ)=sin(sinn+θ1)θ. 6) En déduire que, pour tout entier naturel non nuln,Tn admetn réelles, racines toutes situées dans ]1,1[ , que l’on explicitera. 7) En déduire, pour toutn la factorisation du polynôme* ,Tndans[X] . 8) En déduire, pour toutn la valeur de* ,nk=1nis2(nk+πitcnof ne 1)e on dn. 9) Démontrer, pour tout entier naturelnet tout réelθ ∈]0, [ : sin2θTn"(cosθ)3 cosθTn' (cosθ)+(n2+2n)Tn(cosθ)=0 Indication :On pourra dériver deux fois la fonction :θsinθTn(cosθ)sin(n+1)θ. 10) En déduire, pour tout entier natureln: (X21)Tn" (X)+3XTn' (X)(n2+2n)Tn(X)=0 .
 
Exercices de Mathématiques ECS 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2012