Exercices d’algèbre linéaire – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Espaces de dimension finie

Mathilde Petit

Description

Ces exercices d'algèbre linéaire, proposés en partie avec correction et mettant en avant les "incontournables", sont divisés en 4 séries : (1) Espaces de dimension finie (2) Déterminants (3) Espaces de dimension quelconque (4) Réduction des endomorphismes

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre linéaire

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 69
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre linéaire (I) : Espaces de dimension finie

est-elle inversible ?

Prouver

que,

si

elle

1. SoitAtriangulaire par blocs. A quelle condition
existe,A−1est triangulaire par blocs.
A=A01AA24∈Mnn(K)et soitB=BB13BB24∈Mnn(K)avec(A1 B1)∈Mk2k.
A1B1+A2B3=IkA1B1+A2B3=Ik
AB=In⇐⇒AA41BB32=0+A2B4= 0⇐⇒BA31B=2=0−A2A4−1carA4∈GLn−k
A4∈GLn−ketB4=A4−1A4∈GLn−ketB4=A4−1
A1∈GLketB1=A1−1
⇐⇒BB23=0=−A1−1A2A4−1
A4∈GLn−ketB4=A4−1
uelle estB=A01−1−A1−A41−A12A4−1
donc la CNS est :A1∈GLketA4∈GLn−ket l’inverse évent
qui est bien triangulaire par blocs.
2. Soitu∈L(E)mme matrice dans toutes les bases. Prouver queayant uest une homothétie.
a7

-083
SoitA∈Mnn(K)la matrice deudans une base.∀P∈GLn A=P AP−1ieAcommute avec
toutes les matrices inversibles donc avec toute combinaison linéaire de matrices inversibles.
Soit(Eij)la base usuelle deMnn(K).Eij= (In+Eij)−In, les 2 termes étant des matrices
inversibles ;Acommute donc avec toutes les matricesEij.
Soit(i j);AEij=EijA⇐⇒XakiEkj=XajlEil⇐⇒aii=ajjet∀k6=i aki= 0(et∀l6=j ajl= 0)
k l
d’où le résultat.
3. Prouver qu’une matriceA∈Mnp(C)est de rang1si et seulement si il existe(B C)∈Mn1(C)×M1p(C)
tel queA=BC B6= 0Mn1(C) C6= 0M1p(C).
SoitA∈Mnn(C)de rang1. Prouver queA2= (trA)Aet calculerAppuis(In+A)ppour
p∈N.
Aest de rang1si et seulement siA= (V1 V2  Vn)etV1  Vnsontnvecteurs d’une mme
droite vectorielle (rg(A)≤1d’eux au moins est non nul (rg) et l’un (A)6= 0) ieV1=c1B V2=c2B  Vn=cnB
oùB∈Mn1(C)etB6= 0etC= (c1  cn)∈M1n(C)etC6= 0.
n
AlorsA=BCetA=B(CB)B. OrCB=Xcibi=tr(A)∈Cqui commute avecBdonc
2
i=1
A2= (trA)A.
Par récurrence∀p∈N∗ Ap= (trA)p−1A.
Soitp∈pXn=1pnAp=In+ (npX=1nptr(A)p−1)A.
N∗.InetAcommutent donc(In+A)p=In+
A
=
Si tr(A) = 0, alors(In+A)p=In+pA. Sinon,(In+A)pIn+ [(1 +tr(A))n−1]tr(A).
4. SoitD=(a01)...(a0n)aveca1  andistincts dansK. Prouver queAcommute avecD
si et seulement siA∈K[D].
n
Dans la base usuelle deMnn(K) D=XakEkketA=XαijEijet on sait que
k=1 (ij)∈([1n])2
EijEkl=δjkEiloùδjkdésigne le symbole de Kronecker.
AD=DA⇐⇒XakαijδjkEik=XakαijδkiEkj⇐⇒XajαijEij=XaiαijEij
ijk ijk ij ij
doncAD=DA∀⇒⇐(i j)(ai−aj)αij= 0((Eij)est libre).
a1  ansont distincts doncAD=DA⇐∀⇒(i j) i6=j⇒αij= 0, ieAest diagonale.
Soit alors(Li)la base de Lagrange deKn−1[X]associée aux points distinctsa1  anet

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

Algèbre linéaire (I) : Espaces de dimension finie

n
Q(X) =XαiiLi(X).∀i Q(ai) =αiidoncQ(D) =A∈K[D]. Réciproquement, tout
i=1
A∈K[D]commute avecD.
5. SoitA∈Mnn(C)fixée et soitΦl’application deMnn(C)dans lui-mme définie par
Φ(X) =AX+XA. Déterminer la trace deΦen fonction de celle deA.
A=XaklEklet on cherche le coefficient de la composante selonEijdeΦ(Eij).
(kl)∈([1n])2
Φ(Eij) =XakiEkj+XajlEildonc le coefficient cherché estaii+aj j.

kij lij
tr(Φ) =X(aii+ajj)etXaii=Xtr(A) =ntr(A)donc tr(Φ) = 2ntr(A).
ij ij j
6.AetBétant donnés dansMnn(R), résoudre l’équationX+tr(X)A=Boù l’inconnueX
est dansMnn(R).
(On étudie ici un système linéaire den2équations àn2inconnues.)
A=B
X+tr(X)A=B∃⇐⇒t∈RtX=+trt(XA)=B⇐∃⇒t∈RtX=+trt(B)−ttr(A)
tr(B)
Si tr(A)6=−1, alorsX+tr(X)A=B⇐⇒(∃t∈R t1=t+r(trB)(A)et)X=B1 +tr(A)A
−
(système de Cramer)
Si tr(A) =−1et tr(B) = 0, alorsX+tr(X)A=B∃⇒⇐t∈R X=B−tA(système
indéterminé de rangn2−1: 1 paramètre)
Si tr(A) =−1et tr(B)6= 0, alors le système n’a pas de solution.

7.

A7-049

(a) SoitA∈Mnn(R)une matrice de trace nulle.
Démontrer queAest semblable à une matrice de diagonale nulle. (On pourra raisonner par récurrence
surn).
(b) SoitD∈Mnn(R)diagonale dont les éléments diagonaux sont distincts etune matrice u:Mnn(R)→Mnn(R)
défini paru(M) =DM−M D. Etudierker(u)et Im(u).
En déduire que toute matrice de trace nulle est de la formeXY−Y X(X Y)∈Mn2(ie "est un
commutateur").
Dans le casn= 2, pour(a b)donné, chercher(X Y)avecYdiagonale tel que0ab0=XY−Y X;
en déduire une méthode de calcul de(X Y).
Exemple : PourA=−514−1172−1273, déterminer(X Y).
10−20 26

Mines
8. SoitA= (aij)∈Mn(K)antisymétrique.
(a) On supposea126= 0, et on décomposeAsous la forme :A=−tUVJUavecJ=−a012a012.
SoitP=I02−JIn−−12U. Montrer quePexiste et est inversible.
CalculerAP. En déduire que rg(A) = 2 +rg(tU J−1U+V).
(b) Dans le cas général, montrer que rg(A)est pair.
9. SoitEunK−espace vectoriel de dimension n,f∈L(E)nilpotent d’ordrep,a∈Etel quefp−1(a)6= 0
etF=Vectf(k)(a).
k∈N
(a) Prouver quef(k)(a)k∈[0p−1]est une base deF.
(b) Soitϕ∈E∗tel queϕ(f(p−1)(a))6= 0; prouver queϕexiste. SoitH={x∈E∀k∈Nϕ◦fk(x) = 0};
démontrer queHest un supplémentaire deFstable parf.

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

a7-050

a7-082

Algèbre linéaire (I) : Espaces de dimension finie

(c) Décrire la matrice defdans une base adaptée àF⊕H.
Prouver qu’il existe une baseBdeEtelle que la matriceAdef
etaii+1∈ {01}.

dansBvérifieaij= 0sij6=i+ 1

10. Soit(Xi)1≤i≤p,pmatrices deM1n(R)formant une famille libre,(Yj)1≤j≤q,qmatrices deM1n(R)formant aussi
une famille libre ; montrer que la famille des(tYjXi)est une famille libre.CCP
11. Montrer queMnn(K)admet une base formée de projecteurs.
12. SoitAetBdes matrices deMn(R). SoitQ∈R[X]un polynôme non constant.
On suppose queA+B=AQ(B).
(a) Montrer que, siQ(B)−Inest inversible, alorsAetBcommutent.
(b) Montrer que rg(AB−BA) +rg(Q(B)−In)≤n.
Mines

13. SoitPla matrice de passage de(Xk)0≤k≤nvers((X−1)k)0≤k≤n; calculerPetP−1.
14. SoitJ=00i−000i!.
1 0
(a) Calculer les puissances successives deJ.
(b) SoitAl’espace vectoriel engendré par les puissances successives deA. Prouver queAest un anneau. Déter-
miner ses éléments inversibles.
(c) On poseK=I3−J+J2. SoitA1l’ensemble des matricesLcarrées d’ordre 3 surCtelles queKL=LK=L.
Prouver queA1espace vectoriel. Quelle est sa dimensionest un ? Est-ce un corps ? Est-ce un anneau ?
15. SoitAl’espace vectoriel des matrices réelles d’ordrenetAune matrice symétrique deA. Prouver que tout
élémentMdeApeut s’écrire sous la formeM=X+AY, oùXetYsont des éléments deAet oùAX= 0. Cette
décomposition est-elle unique ?
16. DansE,K-espace vectoriel de dimension @