Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Séries numériques : énoncés

Description

Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 333
• Langue: Français

Exrait

Analyse 

1 

SERIES NUMERIQUES   Exercice 1 1) convergentes et calculer leur somme :Montrer que les séries suivantes sont n 2 4n3   a n = 3n 2 − 2 n n+4 b n + = n! −   2) nature des séries de terme général :Déterminer la n+ 1 2n3ln  2 +  −n u=   v n =   2   n n−1 n n+1 w n =ln   2 2n n − 1 1   Exercice 2 (Critère de Cauchy) Soit (u n  lim  série à termes positifs telle que :) une n u n = . n→+∞ 1) En déduire que :∀ε >0∃p∈∀n≥p− ε ≤ n u n ≤+ ε. 2) En déduire la nature de la série (u n  les cas suivants :) dans a) =0 . b) 0<< c)1 . >1. 3) En déduire la nature de la série dans le cas où : u n =    2 n n+ + 1 2    n .

Exercice 3 (Critère de D’Aembert) Soit (u n  lim série à termes strictement positifs telle que : ) une u n+1 = . n→+∞ u n 1) En déduire que : ∀ε >0∃p∈∀n≥p− ε ≤ u n+1 ≤+ ε . u n 2) En déduire la nature de la série (u n ) dans les cas suivants : a) =0 . b) 0<<1 . c) >1. n 3) En déduire la nature de la série dans le cas où : u n = n  . ! n Exercice 4 Soitα réel strictement positif. L’objectif est d’étudier la nature (convergence ou un divergence) de la série de Riemann de terme général  1  . On note S n n  . 1   u n = n α = k  =1 k α  Partie A 1) Démontrer que : ∀x∈]0,+∞[ ln(x+1)−lnx≤ 1 .  2) En déduire que : ∀n∈* ln(n+1)≤  n 1 .  k=1 k 3)   1  .En déduire la nature de la série de terme général n Partie B Dans cette partie, on suppose que α ≤ 1 . 1) Comparer S n avec la somme partielle d’ordrende la série de terme général  1  . n 2) En déduire la nature de la série de terme général u n = n 1 α lorsqueα ≤1 .