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Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Séries numériques : énoncés

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Description

Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Publié le 01 janvier 2012
Nombre de lectures 333
Langue Français

Exrait

Analyse 
1 
SERIES NUMERIQUES  Exercice 1 1) convergentes et calculer leur somme :Montrer que les séries suivantes sont n24n3   an=3n22nn+4bn+=n! 2) nature des séries de terme général :Déterminer la n+1 2n3ln2+n u=  vn=  2 nn1n n+1wn=ln22nn11Exercice 2 (Critère de Cauchy) Soit (un lim série à termes positifs telle que :) unenun=. n→+∞ 1) En déduire que :∀ε >0pnp− ε ≤nun+ ε. 2) En déduire la nature de la série (un les cas suivants :) dans a) =0 . b) 0<< c)1 . >1. 3) En déduire la nature de la série dans le cas où :un=2nn++12n.
Exercice 3 (Critère de D’Aembert) Soit (un limsérie à termes strictement positifs telle que : ) uneun+1=. n→+∞ un 1) En déduire que :∀ε >0pnp− ε ≤un+1+ ε. un 2) En déduire la nature de la série (un) dans les cas suivants : a) =0 . b) 0<<1 . c) >1. n 3) En déduire la nature de la série dans le cas où :un=n .! n Exercice 4 Soitα réel strictement positif. L’objectif est d’étudier la nature (convergence ou un divergence) de la série de Riemann de terme général 1 . On noteSnn .1 un=nα=k=1kα  Partie A 1) Démontrer que :x]0,+∞[ ln(x+1)lnx1. 2) En déduire que :n* ln(n+1)n1. k=1k 3)  1 .En déduire la nature de la série de terme général n Partie B Dans cette partie, on suppose queα ≤1 . 1) ComparerSnavec la somme partielle d’ordrende la série de terme général 1 . n 2) En déduire la nature de la série de terme généralun=n1αlorsqueα ≤1 .