Exercices d'analyse - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Séries numériques : indications et réponses

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'analyse, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 5 parties : (1) Suites numériques (2) Séries numériques (3) Etudes de fonctions (4) Intégration (5) Fonctions de deux variables. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Analyse

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 116
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Réponses d’Analyse

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Réponses et Indications (Séries numériques)

  Exercice 1 +∞ +∞ 1)   a n = 24 et  b n =3e . n=0n=0 2) (u n ) et (v n ) sont divergentes, (w n  convergente.) est Exercice 2 1) Utiliser la définition de la limite. 2) Pour 0≤< appliquer le 1) à1 , ε = 1− 2  et majorer (u n ) par une série convergente. Pour>1, appliquer le 1) à ε =  2 − te  1 reronim  (u n  une série divergente.) par onver ente car 3) (u n  g c) est n li → m +∞ n u n =  . 2 1 Exercice 3 1) Utiliser la définition de la limite. 2) Pour 0≤< appliquer le 1) à1 , ε = 1− 2   (et majoreru n  une série convergente.) par − Pour>1, appliquer le 1) à ε =   er( 2 1  tem nirou n  une série divergente.) par 3) (u n ) est  lim  divergente car u n+1=e . n→+∞ u n

Exercice 4  Partie A 1) Utiliser par exemple la concavité de ln (il y a d’autres méthodes !). 2) Appliquer le 1) àk, puis sommer de 1 àn. 3) Série divergente.  Partie B 1) Comparerketk α . 2) Série divergente siα ≤1 .  Partie C 1) Utiliser la convexité dex(1+x) α . . 2)  Appliqueret 3) le 1) à k é par inégalitlpei r’lsim luit 1 1 pu, k− α 1 − k 4) et 5) S n α− ≤  ( 1  teS n  Série convergente si) croissante.α >1. Exercice 5 1) a) f"(x)= − l x n 2 ( x ln + x) α + +2   1 . b) Utiliser le sens de variations de f ' etu k+1 =f' (k+1) . c) Inégalité des accroissements finis. d) Série convergente. MajorerS n  ( en sommant de 2 à n−  convergence monotone.1) et 2) Sommer le c) de 1) denà ( p−  faire tendre1) etpvers l’infini.