Exercices d’analyse – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Séries numériques

Mathilde Petit

Description

Ces courts exercices d'analyse, proposés en partie avec correction ou indications et mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 8 séries : (1) Espaces vectoriels normés (2) Séries numériques (3) Intégrale (4) Dérivée, primitive (5) Espaces vectoriels normés de fonctions (6) Séries de fonctions (7) Séries de Fourier (8) Séries entières

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Analyse

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 223
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Analyse (2) : Séries numériques

Les incontournables :
1. Convergence et somme des séries :Xarctann21+3n+ 3X3n−1sin33αn.
(a) –Xunest une SATP (série à termes dansR+).
td cun∼1∼12, ce qui est le TG (terme général) d’une série
–arctant∼onn23n+ 3n
t→0+
de Riemann convergente.
Par thm de comparaison,Xunest convergente.
Ou bien directement :
ntan
sn=Xuketuka=cratnt1+vakn−vkannattvvkk−−11= arctan(tan(vk−vk−1))en notantk+2 = tanvk.
k=0
k+ 2∈R+donc on peut choisirvk∈[0 π2[et alorsvk−vk−1∈]−π2 π2[(en fait
∈[0 π2[) doncuk=vk−vk−1.
snest une somme partielle télescopique :sn=vn−v−1= arctann+ 2−arctan 1.
(sn)a une limiteS=π4doncXunest convergente de sommeS.
(b)X|un|est une SATP.
tdou α
sintt∼→0ncn3n∼−13n3=O1(()9n)qui est le TG d’une série géométrique conver-
gente.
Par thm de comparaison,Xunest absolument convergente.
Ou bien directement :
n
sn=X=0uketuk= 3k−13ns1i4(3αk−33insαk)41=3k3nisαk−3k−1in3skα−1).
k
snest télescopique :sn=143nnsi3αn−3−1is3nα1).
−
sin3αn∼3αndonc(sn)a une limiteS=41(α−33nsiα)doncXunest convergente de
sommeS.
2. EtudierX(lnnlnnn)nX lnn3X√n1nlnXnl(1nn)2.
n
+∞1
Valeur approchée à10−2près deX.
n=n(lnn)2
2
(a)Xunest une SATP.
lnun= (lnn)2−nln lnn∼ −nln lnndonc il existen0∈Ntel que−nlnlnulnnn≥12si
n≥n0. Soit un teln0.
lnun≤12(−nln lnn)≤ −n2sin≥n0etln lnn≥1.
un≤(e−12)npourn≥n1reconnait le TG d’une série géométrique convergente.et on
Par thm de comparaison,Xunest convergente.
(b)Xunest une SATP.
(lnn)3=o(n)doncun=on12ce qui est le TG d’une série de Riemann convergente.
Par thm de comparaison,Xunest convergente.(C’est une série de BertrandXnα1nl(n)β
avecα >1)
(c)Xunest une SATP.
lnn=o(n)doncn(1un)et1nest le
=oTG d’une série de Riemann divergente.
Par thm de comparaison,Xunest divergente.(C’est une série de BertrandXnα1ln(n)β
avecα <1)

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

D1-17

Analyse (2) : Séries numériques

(d)Xunest une SATP.
φ:t7→t1l(nt)2est une fonction continue et décroissante sur[2+∞[doncun=φ(n)≤Znn−1φ=vn
n=Xv
sin≥3ettnk=Z2nφ2ln1=−n1lnest le TG d’une suite qui a une limite (1ln2)
k=3
doncXvnest une série convergente.
1
Par thm de comparaison,Xunest convergente.(C’est une série de BertrandXnα(lnn)β
avecα= 1etβ >1)

n+∞
Pour toutn≥2,sn=Xukune valeur approchée de la sommeest Setrn=Xuk=S−sn
.
k=2k=n+1
0≤rn≤Zn+∞φl1n=ndonc si on choisit1lnn≤002(ien≥e50: c’est une convergence
très lente), alorsS=sn+ 001à001près.
3. Etudier la sérieXarccos2πarctann2.
Xunest une SATP.
22
Soitcn=π2anarctn2.limcn= 1donclimun= 0etun∼sinun=p1−c=rr2π−arctann2.
nπ
2π−arctann2= arctann12∼n12doncun∼rπ2n1ce qui est le TG d’une série (harmonique)
divergente.
Par thm de comparaison,Xunest divergente.
4. Prouver queX(−1)nlnnnest semi-convergente et donner une valeur approchée à10−3près
de sa somme.

5.

–Xunest une série alternée.
–t7→lnttestC1sur[1+∞[de dérivé1−t2lntné ive sur[3+∞[donc(|un|)n≥3
et7→gat
décroit.
–limun= 0.
D’après le TSSA (thm des séries alternées),Xunest convergente.
Mais|un| ≥n1sin≥3etn1est le TG d’une série divergente doncX|un|est divergente ie
Xunest semi-convergente.
+∞
D’après le TSSA, sin≥3, alorsrn=Xukest du signe deun+1et|rn| ≤un+1.
k=n+1
Soitnimpair (par exemple) tel queln(nn1+1+)≤0002. Alors0≤rn≤0002doncS=sn+0001
à0001près.
Z

Etudier la sérieX(n+1)π
e−√xsinxdx.
nπ
π
nZ0π+tsintdtest le
t7→x=nπ+testC1de[0 π]sur[nπ(n+ 1)π]doncun= (−1)e−√n
TG d’une série alternée.
|un|=Z0πe−√nπ+tsintdt≥Z0πe−√(n+1)π+tsintdt=|un+1|ie(|un|)est une suite décrois-
sante.
|un| ≤Zπe−√nπdt=πe−√nπdonclimun= 0.
0

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

d1-016

d1-042

Analyse (2) :

Séries numériques

D’après le TSSA,Xunest une série convergente.
e−√nπ=O(√1nπ3) =O(n312)donc la convergence est absolue.
6. Etudier la série de terme généralun=3pn6+n4+n2−1−pn4+an2+bn+ 1pour
(a b)∈R2.
3pn6+n4+n2−1 =n2(1 +t)13oùt= 12+ 14−n16∼n1
n n2.
1
On a donc3pn6+n4+n2−1 =n23(1+9t2+o(t2)) =n213+9+n22+o(1n2).
1t−
De mme,pn4+an2+bn+ 1 =n2+a2+2bn+48−n2a+o(1n2)d’oùun= 2−36a−2nb+O(1n2).
Sia6= 23, alorsun∼2−36adonc(limun= 0)est faux :Xunest grossièrement divergente.
Sia= 23etb6= 0, alorsun∼ −bndoncXunest à termes réels de signe constant pourn≥n0
1est diverg
etXnente donc, par comparaison,Xunest divergente.
Sia= 23etb= 0, alors|un|=O(1n2)doncXunest absolument convergente.
7. Etudier la sérieXcos(πpn2+n+ 2).
oùt∼7πdonc
pn2+n+ 2 =n121+(n+8n72−761n3+o(1n3))doncun= cos(nπ+π2 +t8)n
un= (−1)n+1sint= (−1)n+1(t−t63+o(1n3)) = (−1)n+178πn+O(1n2).
vn=−7π(−1)nest le TG d’une série semi-convergente.
8n
wn=O(1n2)est le TG d’une série absolument convergente.
Xunest donc semi-convergente.
8. Prouver que le produit de Cauchy de 2 séries exponentielles est une série exponentielle.
Valeur approchée à10−5près deexp(13).
SoitXun=Xnx!n,Xvn=Xynn!etXwnleur produit de Cauchy.
wn=nk=X0ukvn−k=k=Xn0k!xkyn−kn1!nX knxkyn−k= (x+n!y)nce qui est le TG d’une
=
(n−k)!k=0
série exponentielle.
n+∞1
exp(13) =sn+rnoùsn=Xaketrn=Xakavecak=3kk!.
k=0k=n+1
Sik≥n, alorsak=an3k−n(n1+1)k≤an3k−n(n+1)1k−n(3(=nα+ 1))koùα=an3n(n+1)n
k
ne dépend pas dek, etbk=3(n)1+1est le TG d’une série géométrique convergente donc
n1
1
0≤rn≤α13(n+1)+1=
−3(n)1+1(3n+ 2)3nn!.
Soitntel que(3n1)23+nn!≤210−5; alorsexp(13) =sn+ 10−5à10−5près.
9. Prouver que la s1(Sa limite s’appelle la "constante
uite(1Xnk!−lnn)est convergente.
d’Euler")
Soitun=n1Xk1!−lnnpourn≥1et(an=un−un−1sin≥2;a1=u1).
n
Alors∀n≥1 un=Xaket on étudie la sérieXan.
k=1

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d1-066

d1-006

Analyse (2) : Séries numériques

an= 1n+ ln(1−n1 ) =−2n12+o(1n2) =O(1n2)doncXanest absolument convergente. La
suite(un)a donc une limite.
10 Converge2n3−3n2+ 1
. nce et somme de la série de terme général(n+ 3)!.

11.

d1-106

P(n) = 2n3−3n2+1 =a(n+3)(n+2)(n+1)+b(n+3)(n+2)+c(n+3)+deta= 2 b=−15 c= 53 d=−80.
a b c d
un=n+(!n1+!)+(n+(+2)!n+ 3)!doncXunest la somme de4séries convergentes.
+X∞un=a+X∞n1+!b+X∞1+X∞1+∞1
n! +cn! +dXn! =ae+b(e−1)+c(e−2)+d(e−52) = 109−40e.
n=0n=0n=1n=2n=3
+∞(−1)n
.
On admet quen+X=∞1n12=π62. Calculern+X=∞0(2n)1+12etnX=1n2
kX=n0(2k1+)12=2nkX+11=k12−k=nX1(2k1)2=s2n+1−14snoù(sn)est la suite des sommes partielles de
la série (convergente de sommeS=π62)Xn12doncn=+X∞0(2n+11)2existe et vautS−41S=π82.
+∞
1ns[n2]−sndoncX(−n12)n
knX=1(