Exercices d’analyse – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Espaces vectoriels normés de fonctions

Mathilde Petit

Description

Ces courts exercices d'analyse, proposés en partie avec correction ou indications et mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 8 séries : (1) Espaces vectoriels normés (2) Séries numériques (3) Intégrale (4) Dérivée, primitive (5) Espaces vectoriels normés de fonctions (6) Séries de fonctions (7) Séries de Fourier (8) Séries entières

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Analyse

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 40
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Analyse (5) : Espaces vectoriels normés de fonctions

Les incontournables :
1. Soit une suite(Pn)de fonctions polynômes à coefficients réels qui approche uniformément
surRune fonctionf. Montrer quefest une fonction polynôme.

2.

3.

On sait que :
∀ε >0∃n0∀n≥n0kPn−fk∞≤ε
En particulier, pourε= 1,∃n0∀n≥n0kPn−Pn0k∞≤ kPn−fk∞+kf−Pn0k∞≤2.
Tout polynôme borné est constant donc∃n0∀n≥n0∃Kn∈R Pn=Pn0+Kn
Pour unt=t0particulier, la suite(Pn(t0))a une limite (qui estf(t0))) donc la suite numérique
(Kn)n≥n0a une limiteKet∀t∈Rnl→i+m (Pn0(t) +Kn) =f(t) =Pn0(t) +K, ce qui prouve
∞
quefest une fonction polynôme.

En utilisant une suite de terme généralfn, affine par morceaux, continue sur[01]telle que
fn(t) = 0si1n≤t≤1, prouver quekk2etkk∞ne sont pas équivalentes surC([01]R).
Soitfn(t) = 0si1n≤t≤1,fn(t) = 1−ntsi0≤t≤1n.fnest continue sur[01]et
∀nkfnk∞= 1kfnk2=√13n.
La suitekkffnnkk2∞n’est pas bornée donc[∃C∀f∈ C([01])kfk∞≤Ckfk2]est faux : les
deux normes ne sont pas équivalentes.
Soitfune application de classeC2deR+dansRtelle quef(0) = 0et quefetf”soient de
carré intégrable surR+.
Montrer quef0est de carré intégrable surR+et queZ+0∞f02!2≤Z+0∞f2Z+0∞f”2
Soitx >0.(f0 f)∈(C1([0 x]))2donc par IPP,Z0xf0f0= [f f0]x0−Z0xf f”.
(f f”)∈(L2(R+))2doncf f”∈L1(R+): en particulierxl→i+m∞Z0xf f”existe dansR.
f(0)f0(0) = 0etf(x)f0(x=)21g0(x)oùg=f2. On a donc21g0(x) =Z0xf0f0+Z0xf f”.
x
t une fonction AVP doncl+i∞mZ00f0= +∞
Supposons quef02ne soit pas intégrable surR+. C’esf
d’oùlimg0(x) = +∞.
+∞
Alors,∀α >0∃x0∀x≥x0 g0(x)≥αdonc∃x0∀x≥x0 g(x)≥g(x0) +α(x−x0)et
g∈ L1(R+), ce qui est absurde.f02est donc intégrable surR+etl+img0(x) =βexiste dansR.
∞
Siβ >0, la minoration précédente degest encore vraie pour toutα < βdoncβ >0est absurde.
De mme, siβ <0, pourα=β2(<0)par exemple,∃x0∀x≥x0 g(x)≤g(x0) +α(x−x0)
doncl+im∞g=−∞ce qui est absurde (gest AVP).
+∞
On en déduit queβ= 0etZf0f0=−Z+0∞f f”. De plus, d’après l’inégalité de C.S.,
0
fetf”étantL2(R+):Z+0∞f f”2≤Z+0∞f2Z+0∞f”2

Pour aller plus loin :
1
4. DansE=C([01]C)muni du produit scalairehf gi=Zf g, prouver que l’orthogonal du sous-espace
0
des fonctions polynômiales est le sous-espace nul.
[Soit(Pn)une suite de polynômes de limitef∈Epourkk∞(thm de Weierstrass) ; sif∈R[X]⊥,
alorskfk2=hf f−Pn+Pni=hf f−Pni →0. ]

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

C9-047

c3-072

Analyse (5) : Espaces vectoriels normés de fonctions

5. Soitα∈RQetrα:C→C. Soitϕune application continue deCdansC.
z7→e2iπαz
Montrer quenl→i+m∞n1kn=X−01ϕ◦rαk(z)!=Z10ϕei2πtzdt.O16-X02
2
[Pourϕ=u7→up(p∈N∗), il s’agit de prouver quenl→i+m∞nzp11−−ee2nπαipαpπi= 0(pα∈Zet(1−e2ipπαn)n
est une suite bornée) ; et on conclut par thm de Weierstrass]
6.Lemme de Lebesgue :
Soitf∈Cm([01]C)etaune suite réelle telle queliman= +∞. Prouver quenl→i+m∞Z01f(t) sin(ant)dt= 0.
[On le prouve d’abord pour les fonctions en escalier.]

Pour s’entraîner :
7. Montrer queΦ :R[X]→Rest une norme, et qu’elle n’est pas équivalente àN(P sup) =|P(t)|.
+∞t∈[01]
P7→X|P(k)(k)|
k=0
Montrer queψ:P7→ |P(0)|+N(P0)est une norme surR[X].
SoitP∈Rn[X]; montrer que∀n∈N∃An∈R N(P0)≤AnΦ(P).CCPc3-013
[∀n∈NNΦ((XXnn))≥n!;∀k≤n Pk(k) =an(nn−!k)!kn−k++akk!d’où par récurrence∃Mnk∀P∈Rn[X] k|ak| ≤MnkΦ(P).]

8. Soitfune application de classeC1deR+dansCtelle quefsoit intégrable surR+etf0de carré intégrable sur
R+.
rer que∃K x K y|x−y|12puis quelimf= 0et quefest bornée surR+.c3-074
Mont∈R∀( )∈R+2|f(x)−f(y)| ≤+∞
xn+b
[|f(y)−f(x)|=|Zxy1f0|et inégalité de C.S. ; sil+i∞mf= 0est faux, alors∃(a b c(xn))∀n|f(xn)| ≥aZxn
et|f| ≥c
oùa b csont des constantes deR∗+etfn’est pasL1(R+).]
9.fdécrit l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur le segment[a b](a < b).
Déterminer le minimum du produitPf=Zbaf(x)dx Zabf(1x)dx; pour quelles fonctionsfce minimum
est-il atteint ?
Montrer quePfn’est pas majoré.C6-048
[C.S. pour(pf 1pf); égalité à(b−a)2ssifest constante ;c= (a+b)2 fn(t) =nsit∈[a c−1n]1nsit∈[c+1n b]
et affine par morceaux continue donne(Pfn)non majorée. ]
10. (a) Soit(fn)une suite de fonctions continues deRdansR, convergente pourkkR∞vers une fonctionf.
On notegn=fn◦fnetg=f◦f. Démontrer que la suite(gn)converge simplement surRversg.
(b) Soitfn(x) =x2+1n2. Démontrer que(fn)vérifie les hypothèses de la question (a) et déterminer les fonctions
f,gn,g. La suite(gn)est-elle convergente versgpourkkR∞?C9-044bis
[(a)gn(t)−g(t) = (fn◦fn(t)−f◦fn(t)) + (f◦fn(t)−f◦f(t)); (b)gn−gn’est pas bornée.]

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