Exercices d’analyse – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Espaces vectoriels normés de fonctions

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Mathilde Petit

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Ces courts exercices d'analyse, proposés en partie avec correction ou indications et mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 8 séries : (1) Espaces vectoriels normés (2) Séries numériques (3) Intégrale (4) Dérivée, primitive (5) Espaces vectoriels normés de fonctions (6) Séries de fonctions (7) Séries de Fourier (8) Séries entières

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Analyse (5) : Espaces vectoriels normés de fonctions

Les incontournables :
1. Soit une suite(Pn)de fonctions polynômes à coeﬃcients réels qui approche uniformément
surRune fonctionf. Montrer quefest une fonction polynôme.

On sait que :
∀ε >0∃n0∀n≥n0kPn−fk∞≤ε
En particulier, pourε= 1,∃n0∀n≥n0kPn−Pn0k∞≤ kPn−fk∞+kf−Pn0k∞≤2.
Tout polynôme borné est constant donc∃n0∀n≥n0∃Kn∈R Pn=Pn0+Kn
Pour unt=t0particulier, la suite(Pn(t0))a une limite (qui estf(t0))) donc la suite numérique
(Kn)n≥n0a une limiteKet∀t∈Rnl→i+m (Pn0(t) +Kn) =f(t) =Pn0(t) +K, ce qui prouve
∞
quefest une fonction polynôme.

En utilisant une suite de terme généralfn, aﬃne par morceaux, continue sur[01]telle que
fn(t) = 0si1n≤t≤1, prouver quekk2etkk∞ne sont pas équivalentes surC([01]R).
Soitfn(t) = 0si1n≤t≤1,fn(t) = 1−ntsi0≤t≤1n.fnest continue sur[01]et
∀nkfnk∞= 1kfnk2=√13n.
La suitekkffnnkk2∞n’est pas bornée donc[∃C∀f∈ C([01])kfk∞≤Ckfk2]est faux : les
deux normes ne sont pas équivalentes.
Soitfune application de classeC2deR+dansRtelle quef(0) = 0et quefetf”soient de
carré intégrable surR+.
Montrer quef0est de carré intégrable surR+et queZ+0∞f02!2≤Z+0∞f2Z+0∞f”2
Soitx >0.(f0 f)∈(C1([0 x]))2donc par IPP,Z0xf0f0= [f f0]x0−Z0xf f”.
(f f”)∈(L2(R+))2doncf f”∈L1(R+): en particulierxl→i+m∞Z0xf f”existe dansR.
f(0)f0(0) = 0etf(x)f0(x=)21g0(x)oùg=f2. On a donc21g0(x) =Z0xf0f0+Z0xf f”.
x
t une fonction AVP doncl+i∞mZ00f0= +∞
Supposons quef02ne soit pas intégrable surR+. C’esf
d’oùlimg0(x) = +∞.
+∞
Alors,∀α >0∃x0∀x≥x0 g0(x)≥αdonc∃x0∀x≥x0 g(x)≥g(x0) +α(x−x0)et
g∈ L1(R+), ce qui est absurde.f02est donc intégrable surR+etl+img0(x) =βexiste dansR.
∞
Siβ >0, la minoration précédente degest encore vraie pour toutα < βdoncβ >0est absurde.
De mme, siβ <0, pourα=β2(<0)par exemple,∃x0∀x≥x0 g(x)≤g(x0) +α(x−x0)
doncl+im∞g=−∞ce qui est absurde (gest AVP).
+∞
On en déduit queβ= 0etZf0f0=−Z+0∞f f”. De plus, d’après l’inégalité de C.S.,
0
fetf”étantL2(R+):Z+0∞f f”2≤Z+0∞f2Z+0∞f”2

Pour aller plus loin :
1
4. DansE=C([01]C)muni du produit scalairehf gi=Zf g, prouver que l’orthogonal du sous-espace
0
des fonctions polynômiales est le sous-espace nul.
[Soit(Pn)une suite de polynômes de limitef∈Epourkk∞(thm de Weierstrass) ; sif∈R[X]⊥,
alorskfk2=hf f−Pn+Pni=hf f−Pni →0. ]

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

C9-047

c3-072

Analyse (5) : Espaces vectoriels normés de fonctions

5. Soitα∈RQetrα:C→C. Soitϕune application continue deCdansC.
z7→e2iπαz
Montrer quenl→i+m∞n1kn=X−01ϕ◦rαk(z)!=Z10ϕei2πtzdt.O16-X02
2
[Pourϕ=u7→up(p∈N∗), il s’agit de prouver quenl→i+m∞nzp11−−ee2nπαipαpπi= 0(pα∈Zet(1−e2ipπαn)n
est une suite bornée) ; et on conclut par thm de Weierstrass]
6.Lemme de Lebesgue :
Soitf∈Cm([01]C)etaune suite réelle telle queliman= +∞. Prouver quenl→i+m∞Z01f(t) sin(ant)dt= 0.
[On le prouve d’abord pour les fonctions en escalier.]

Pour s’entraîner :
7. Montrer queΦ :R[X]→Rest une norme, et qu’elle n’est pas équivalente àN(P sup) =|P(t)|.
+∞t∈[01]
P7→X|P(k)(k)|
k=0
Montrer queψ:P7→ |P(0)|+N(P0)est une norme surR[X].
SoitP∈Rn[X]; montrer que∀n∈N∃An∈R N(P0)≤AnΦ(P).CCPc3-013
[∀n∈NNΦ((XXnn))≥n!;∀k≤n Pk(k) =an(nn−!k)!kn−k++akk!d’où par récurrence∃Mnk∀P∈Rn[X] k|ak| ≤MnkΦ(P).]

8. Soitfune application de classeC1deR+dansCtelle quefsoit intégrable surR+etf0de carré intégrable sur
R+.
rer que∃K x K y|x−y|12puis quelimf= 0et quefest bornée surR+.c3-074
Mont∈R∀( )∈R+2|f(x)−f(y)| ≤+∞
xn+b
[|f(y)−f(x)|=|Zxy1f0|et inégalité de C.S. ; sil+i∞mf= 0est faux, alors∃(a b c(xn))∀n|f(xn)| ≥aZxn
et|f| ≥c
oùa b csont des constantes deR∗+etfn’est pasL1(R+).]
9.fdécrit l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur le segment[a b](a < b).
Déterminer le minimum du produitPf=Zbaf(x)dx Zabf(1x)dx; pour quelles fonctionsfce minimum
est-il atteint ?
Montrer quePfn’est pas majoré.C6-048
[C.S. pour(pf 1pf); égalité à(b−a)2ssifest constante ;c= (a+b)2 fn(t) =nsit∈[a c−1n]1nsit∈[c+1n b]
et aﬃne par morceaux continue donne(Pfn)non majorée. ]
10. (a) Soit(fn)une suite de fonctions continues deRdansR, convergente pourkkR∞vers une fonctionf.
On notegn=fn◦fnetg=f◦f. Démontrer que la suite(gn)converge simplement surRversg.
(b) Soitfn(x) =x2+1n2. Démontrer que(fn)vériﬁe les hypothèses de la question (a) et déterminer les fonctions
f,gn,g. La suite(gn)est-elle convergente versgpourkkR∞?C9-044bis
[(a)gn(t)−g(t) = (fn◦fn(t)−f◦fn(t)) + (f◦fn(t)−f◦f(t)); (b)gn−gn’est pas bornée.]

Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011

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