Exercices d’analyse – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Séries entières

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Mathilde Petit

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Ces courts exercices d'analyse, proposés en partie avec correction ou indications et mettant en avant les « incontournables », sont divisés en 8 séries : (1) Espaces vectoriels normés (2) Séries numériques (3) Intégrale (4) Dérivée, primitive (5) Espaces vectoriels normés de fonctions (6) Séries de fonctions (7) Séries de Fourier (8) Séries entières

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Analyse (8) : Séries entières

1. Domaines de convergence des sériesXnαzn,(n√n−1)zn,X(2nn!)!nzn2n.
n2
2. Domaine de convergence et somme des séries entièresX2nx+ 1,Xn(nsh+n1)zn,X(z33nn)!,
Xn2+ 4n4−1nzn!etX(Xn11k)tn.
n+k=
3. Prouver queln 2 =+X∞(−1n)n−1.
1
4. Soitf(t) =et1−1−1tsurR∗. Prouver quefadmet un prolongement de classeC∞surR.
+∞
5. Démontrer que1lntlt=X13.
Z0n(t1−t)dn=1n
6. Recherche des solutions développables en série entière det2D2y+ 6tDy+ (6−t2)y=−1.
7. Développer en série entièref(t) = ln(√1 +t+√1−t).

8. Domaine de convergence de la sérieXn!zn2.

n
9. Comparer les rayons de convergence et les sommes des sériesXanznetXsnznoùsn=Xak.
k=0
10. Soit(an)n∈Nune suite réelle convergente de limitea6= 0.
(a) Trouver le rayon de convergence de la série entièreXanntn.
(b) On posef(t) =n+X=∞0anntn(t∈R). Calculerlim1−ln(f1(t)t)
t→−
11. Soit :f1(x) =Xe−ncos(n2x)(ouf2(x) =Xexp(in2x)) etf3(x) =Xcosn2!nx.
2n
n≥0n≥0n≥0
Montrer, pouri∈ {123}, quefi∈ C∞(R)et que sa série de Mac-Laurin est de rayon de convergence
nul.

12. Domaine de convergence deX√n2n1+nlznn.
13. Etudier la série entièreX(x1n)nα, oùαest un réel donné.CCP
ch
n
14. Domaine de convergence de la sérieXnln(n)zn. Mme question pourXn√nzn.
15. Domaine de convergence de la sérieXanznoùanest lanimèdecémialedeπ.
16. Soitϕ(x) =xe−x un=ϕ(n) vn=ϕ(−n) wn=ϕ(1n).
Convergence et somme éventuelle deXunXvnXwn.
17. Soitf=x7→exx−1six6= 0etf(0) = 1. Prouver quefadmet unDLnen0. On le notef(x) =a0++anxn+o(xn).
Exprimeranen fonction desai i≤n−1. Prouver que∀n|an| ≤1.
+∞
SoitΦ(x) =Xanxn. Prouver queΦest déﬁnie sur un voisinageVde0et queΦ =fsurV.
0
18. Soit(an)∈(R+)Ntelle que(an+1−an)décroit. Démontrer queRPanzn≥1.
∞3n+1
19. Rayon de convergence et somme deS(x) =n=X0(3xn+ 1)!?CCP

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Analyse (8) :

20.

21.

22.

23.

Séries entières

n
SoitXanxnla série entière telle quean=Xk1! n∈N. Donner l’intervalle de convergenceIde la série entière.
k=0
Calculer la somme de la série entière. Trouver les coeﬃcients du développement en série entière de la fonction
ex
=
f(x1()−x)2.CCP
+∞
π
Prouver que4 =X(2n−+1)n1
.
1

Soit(un)déﬁnie par(u0=u1= 1∀n≥0

un+2=un+1+ 2un+ (−1)n)etS(x) =Xunxn.
n≥0

Montrer que le rayon de convergence deSest supérieur ou égal à12.
CalculerS(x); en déduire une expression deun.
On considère la suite réelle(an)n∈Ndéﬁnie par :

a0=a1=a2= 1;

∀n≥2 an+1=anan−2
−
2(n+ 1)

Etudier la monotonie des suites(an)n∈Net(nan)n∈N.
Quel est le rayon de convergence de la série entièreXanxn?
Trouver une équation diﬀérentielle vériﬁée par la fonctionfsomme de la série entière. En déduiref.
dt
24. Développer en série entièrefZ−x∞4.
(x + 1) =t2+t
25. Déterminer les solutions développables en série entière de(1 +x2)D2y−2y= 0.
26. Soit l’équation(E) (1−x2)Dy−xy= 2.
Démontrer que(E)admet une solution impaire développable en série entière.
Résoudre directement(E)sur]−11[.
En déduire le développement en série entière dex7→(arcsinx)2.
2t2
27. Soitfla fonction deRdansRdéﬁnie parf(x) =e−xZ0x
2e2dt.
Démontrer quefest dérivable surR, impaire, et solution de l’équation diﬀérentielleDy+xy= 1.
Déduire de ce qui précède le développement en série entière def.

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