Exercices de calcul différentiel – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC, Equations différentielles
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01 janvier 2012
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Français
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Calcul différentiel et EDO (1) : Equations différentielles
E4-124
1. Résoudre :(a)D2y+ 4y= cos2xet :(b)D2y+ 4ys1=oc2x
2.fest solution du problème de Cauchyy” + (cost)y=et2;y(0) = 1 ;y0(0) = 0. Prouver
quefest paire.
3. RésoudreD2y−tantDy+ 2y= 0sur]0 π2[
- en remarquant que(y0:t7→sint)est une solution particulière,
- en utilisant le Wronskien de(y y0).e4-102
dx
4. Soit(α β)∈R2etAαβ=1α2β. On considère l’équation différentielle :(E)ydtdtd=Aαβxy
Déterminer la solution générale de(E)quand(α β)prend les valeurs suivantes :
(16); (32); (4−1); (2−1)
Dans chaque cas, représenter la trajectoire correspondant à la condition initiale(x(t0) y(t0)) = (x0 y0)
E4-122
5. Résoudrex2D2y+ 3xDy+y += 1x2surI1=R∗−puis surI2=R∗+en utilisant les
changements de variablet7→x=±exp(t).e4-027
6. Soit(E)Dy=ey−x.
Résoudre(E)en utilisant la fonctionz=e−y. Représenter la solution vérifianty(0) = 1.e3-84
7. Résoudrex=Dy+ sin(Dy); on utilisera le paramétraget=Dy.E3-65
8. Soity(respz) une solution deD2y(t) +φ1(t)y(t) = 0(respD2z(t) +φ2(t)z(t) = 0) oùφ1(respφ2) est
une fonction réelle continue sur[a+∞[. On suppose que∀t≥a φ1(t)≥φ2(t).
Prouver qu’entre deux zéros dez, il existe un zéro dey.
Application :J0est solution de(xy” +y0+xy= 0 ;y(0) = 1 ;y0(0) = 0); étudier ses zéros.
9. Soityune solution deD2y(t)+φ(t)y(t) = 0oùφest une fonction réelle continue surItelle queys’annule en
un pointadeImaisyn’est pas la fonction nulle. Prouver que :∃α >0∀t∈[a−α a+α] {a}y(t)6= 0.
(ie les zéros deysont "isolés")
10. Soit le système différentieltxdd= 2(x−ty)tdyd= 2y.
Résoudre(E).
On utilise la méthode d’Euler avec un pashdet=t0= 0àt=tn=nhpour trouver la courbe intégrale
qui passe par le point(x0 y0)à l’instantt= 0. Calculer explicitement(xn yn)en fonction dex0 y0 n h
et vérifier la convergence de la solution approchée vers la solution exacte quandn→+∞.
11. SoitIun intervalle deR,aune fonction continue surIetbune fonction de classeC1et ne s’annulant pas surI.
Trouver une condition nécessaire suraetbpour que(E) :y” +ay0+by= 0admette des solutions inverses l’une
de l’autre. Cette condition est-elle suffisante ?
Application numérique : résoudre4xy” + 2y0−y= 0. Existe-t-il des solutionsC∞?
Existe-t-il des solutions de(E)développables en série entière ?Centrale
12. Résoudre le problème de Cauchy :(y”y(0)+|y=|=a0On distingueraa <0 > a0eta= 0.Centrale
0
y(0) = 0
13. Soit(E) (1−t2)y”−ty0−a2y= 0. Résoudre(E)en remarquant quet7→exp(aarcsint)est une solution.
14. Soit(E) (t+ 1)y”−2y0−(t−1)y=te−t. Résoudre en vérifiant quet7→etest une solution de l’équation sans
second membre.
15. Déterminer les fonctionsfcontinues surRtelles que :
Z0xf(t)dt
∀x∈Rx3 (f(x) + 2f(0)) =
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
E4-149
E4-150
e3-85
e4-001
e4-005
E4-11
E4-36
E4-19
Calcul différentiel et EDO (1) :
Equations différentielles
16. Résoudre(a)D2y−2Dy−3ye=px(hc23xx()b)D2y+ 3Dy+ 2y=xx−21e−x.
0
17. Résoudre l’équation différentielley” +y+y=ϕoùϕest une fonction continue surRdonnée.
Soitf∈ C2(RR)telle quelim (f”(x) +f0(x) +f(x)) = 0.
x→+∞
imf00(x) = 0.
Montrer que :xl→i+m∞f(x) =xl→im+∞f0(x) =xl→+∞
18. Soit(E)D2y+e−t2y= sintetfune solution réelle surI= [0+∞[de(E).
Démontrer que, sifest bornée surIet de carré intégrable surI, alorslimf(t) = 0.
t→+∞
On pourra étudier l’intégrabilité surIdeD2f−sin.
19. Soit(E)D2y+exy= 0que toutes les solutions sont bornées sur; prouver R+.
Généralisation à une équationD2y+f(x)y= 0?
1502t
20. Résoudre le système différentiel :(x” =x4yy−x+0e.
−
y” =−
On pourra éventuellement se ramener à un système de premier ordre.Centrale
21. Résoudrex=Dy−112en paramétrant avect=Dy.
Dy+
22. Soit(E) :y0=x+y++ab.
x−y
Déterminer une transformation du type(x y)7→(X=x+β Y=y+α)telle que(E)soit
0X+Y
=
YX−Y. Résoudre(E).
Exercices de Mathématiques PC - Mathilde PETIT - 2011
équivalente
à
e4-144
e4-134
e4-132
e4-151
e4-003
E3-73
e3-032
