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Exercices de probabilités - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voies ECS et ECE, Probabilités : énoncés

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Ces exercices ou problèmes de probabilités, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Dénombrement (2) Probabilités (3) Variables aléatoires discrètes (4) Variables aléatoires à densité. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Publié le 01 janvier 2013
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Langue Français
Probabilités 
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 PROBABILITES  Exercice 1 On dispose de trois pièces de monnaie. Deux d’entre elles sont équilibrées et la troisième est truquée : en la lançant, vous avez trois fois plus de chances d’obtenir « Face que « Pile ». Malheureusement, ces trois pièces ne sont pas reconnaissables. » 1) au hasard une pièce et vous la lancez une fois.Vous choisissez a) Quelle est la probabilité d’obtenir « Face » ? b) quelle est la probabilité que vous ayez la pièce truquée ?Si vous obtenez « Face », 2) Vous choisissez toujours au hasard une pièce, mais vous la lanceznfois de suite. On suppose les lancers indépendants. a) Quelle est la probabilité d’obtenirnfois « Face » ? b) Si vous obtenezn fois Face », « quelle est la probabilitépn vous ayez que choisi la pièce truquée ? Calculer la limite depnquandntend vers l’infini. c) A partir de quelle valeur den sûr » à 95% d’avoir choisi laserez-vous « pièce truquée ? On donne : ln 20,7 ; ln 31,1 ; ln192,9 . Exercice 2 (d’après CCIP 2004 voie E) On considère une suite infinie de lancers d’une pièce équilibrée, c’est-à-dire pour laquelle, à chaque lancer, les apparitions de « Pile » et de « Face » sont équiprobables, les différents lancers étant indépendants les uns des autres. Pour tout entier naturel non nuln, on désigne parFn apparaît aul’événement « Face lancer de rangn» n 1) Interpréter les événementsBn=Fn2Fn1FnetUn=Bipourn3 . i=3 2) On poseu1=u2=0 et, pour tout entiern3 :un=P(Un) . Montrer que la suite (un)n1est monotone et convergente. 3)  pour tout entiera) Calculer,n3 , la probabilité de l’événementBn. b) Vérifier que, pour tout entiern3 , les événementsBn,Bn+1 etBn+2 sont deux à deux incompatibles. c) En déduire les valeurs des nombresu3,u4etu5. 4) Soitnun entier supérieur ou égal à 5. a) Justifier que :UnBn+1=Un2Bn+1. Préciser leur probabilité. b) Exprimer l’événementUn+1 en fonction des événementsUn etBn+1. En déduire l’égalité suivante :un+1=un+(811un2) . c) Vérifier que la relation est également vraie pourn=3 etn=4 . d)  (Déterminer la limite de la suiteun)n1. Exercice 3  Un fumeur impénitent décide d’essayer d’arrêter de fumer. Mais c’est difficile !  On suppose que le premier jour, plein de bonnes résolutions, il ne fume pas, et que :  s’il ne fume pas un jour, alors la tentation est forte et il y a 7 chances sur 10 qu’il fume le lendemain.  par contre, s’il succombe un jour, alors il est pris de remords et il y a 9 chances sur 10 qu’il ne fume pas le lendemain. On noteFnl’événement « il fume le journ» etpn=P(Fn) . 1) Exprimerpn+1en fonction depnpour tout entier naturel non nuln. 2) En déduire le calcul depnen fonction den.