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Exercices divers et traduction pour Xcas

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Exercices divers et traduction pour Xcas Renée De Graeve 22 avril 2010

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  • parenthése con


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Publié le 01 avril 2010
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Langue Français
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Exercices divers et traduction pour
Xcas
Renée De Graeve
22 avril 20102Chapitre 1
Fonctions et expressions en
seconde
Objectifs S’entrainer à lire, écrire, interprêter et simplifier des expressions.
Faire la distinction entre expression et fonction.
1.1 Les expressions
Une expression est une suite de termes séparés par un signe d’opération. Un
terme est un nombre ou un nom de variable ou un produit ou une parenthése con-
tenant une expression.
Convention La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la
soustraction.
Le signe∗ est quelqufois omis dans l’écriture, par exemple on écrit : 2x au lieu de
2∗x.
1.1.1 L’énoncé
Voici 6 expressions formées à partir de T = 1−x∗ 2 +x en rajoutant des
parenthèses :
A = (1−x)∗2+x
B = 1−(x∗2)+x
C = 1−x∗(2+x)
D = (1−x∗2)+x
F = 1−(x∗2+x)
G = (1−x)∗(2+x)
1/ Y-a-t-il une (ou des) expression(s) égale àT ?
Si oui, pourquoi ?
2/ Calculer les valeurs de ces expressions pourx = 1 et pourx =−1.
3/ Parmi les expressionsA,B,C,D,F,G :
- Lesquelles sont une somme de 2 termes ?
- Lesquelles sont une différence de 2 termes ?
34 CHAPITRE 1. FONCTIONS ET EXPRESSIONS EN SECONDE
- Lesquelles sont une somme algébrique de 3 termes ?
- Lesquelles sont un produit de 2 termes ?
- Lesquelles sont égales ?
4/ Simplifier les expressionsA,B,C,D,F,G.
5/ Écrire toutes les expressions formées à partir deS = 1 +x/2∗x en rajoutant
des parenthèses.
1.1.2 Vérifions avecXcas
On tape :
T :=1-x 2+x*
A :=(1-x) 2+x*
B :=1-(x 2)+x*
C :=1-x (2+x)*
D :=(1-x 2)+x*
F :=1-(x 2+x)*
G :=(1-x) (2+x)*
Puis on tape pour connaitre les expressions égales àT :
A==T,B==T, etc...
On trouve que la réponse de A==T est 0 ce qui veut dire que l’expression A est
différente deT.
On trouve que la réponse de B==T est 1 ce qui veut dire que l’expression B est
identique àT etc...
1.2 Les fonctions
Une fonction rèelle f définie sur I partie deR est une application qui à tout
nombre dex deI fait correspondre une expressionf(x). La valeur de la fonction
en un pointx est donc donnée par une expression.
Exemple avecXcas Je tape :
expr :=3 x+2*
je définis ainsi l’expressionexpr
Je tape :
f(x) :=3 x+2*
je définis ainsi la fonctionf
Je tape :
subst(expr,x=1) et j’obtiens 5
Je tape :
f(1) et j’obtiens 5
Je tape :
plotfunc(3 x+2) ou,*
plotfunc(expr) ou,
plotfunc(f(x))
j’obtiens un seul graphe qui est le graphe de la fonctionf1.2. LES FONCTIONS 5
1.2.1 L’énoncé
1/ Définir 6 fonctions ayant pour valeurs respectives les expressionsA,B,C,D,F,G.
2/ Tracer le graphe de ces fonctions et observer sur un même graphique.
3/ Parmi ces graphes il y a des droites et des paraboles. Retrouver le graphe de
chaque fonction.
1.2.2 Vérifions avecXcas
On tape pour définir les 6 fonctions :
a(x) :=(1-x) 2+x*
b(x) :=1-(x 2)+x*
c(x) :=1-x (2+x)*
d(x) :=(1-x 2)+x*
f(x) :=1-(x 2+x)*
g(x) :=(1-x) (2+x)*
Puis on tape pour visualiser les graphes :
plotfunc([a(x),b(x),c(x),d(x),f(x),g(x)]) On obtient que 5 courbes
de couleurs différentes.
On peut taper progressivement :
plotfunc([a(x)]),plotfunc([a(x),b(x)]) etc...
On voit ainsi que :
– le graphe dea est la droite noire,
– le graphe deb est une droite rouge,
– le graphe dec est la parabole verte,
– le graphe ded est la droite jaune qui se supperpose à la droite rouge,
– le graphe def est la droite bleue et,
– le graphe deg est la parabole verte.6 CHAPITRE 1. FONCTIONS ET EXPRESSIONS EN SECONDEChapitre 2
Arithmétique en terminale
2.1 Énoncé sur la partie entière

nMontrer que la partie entière dea = (3+ 5) est un entier impair quelquesoit
l’entiern dansN.
2.1.1 Cherchons avecXcas
On peut faire des essais dans le tableur.
Dans A0 on met 1
Dans A1 on met =A0*(3+sqrt(5))
Dans B0 on met =floor(A0)
Dans B1 on met =floor(B1)
Puis on remplit vers le bas. √
nDans cet exercice il faut penser à associer à (3 + 5) sa quantité conjuguée√
n(3− 5) .
Dans C0 on met 1
Dans C1 on met =C0*(3-sqrt(5))
Dans D0 on met =floor(A0+C0)
Dans D1 on met =C0*(3-sqrt(5))
Puis on remplit vers le bas.
2.1.2 La démonstration
On remarque que :√ √
n nb = (3+ 5) +(3− 5) est un entier pair (d’après la formule du binôme) et√
nque 0< (3− 5) < 1.
On a donca<b<a+1, ou encoreb−1<a<b avecb un entier pair.√
nCela prouve que la partie entière de a = (3 + 5) est b− 1 qui est un entier
impair.
78 CHAPITRE 2. ARITHMÉTIQUE EN TERMINALE
2.2 Énoncés sur le nombre de diviseurs d’un entier
2.2.1 L’énoncé 1
Quel est, parmi les entiers naturels de 1 à 2005, celui qui admet le plus de
diviseurs ? Quel est ce nombre de diviseurs ?
2.2.2 Réponse avecXcas
On tape :
2 3 5 7* * *
On obtient :
210
On tape :
2 3 5 7 11* * * *
On obtient :
2310
Cela nous dit que le nombre est de la forme :
a b c d2 ∗3 ∗5 ∗7 aveca≥b≥c≥d≥ 0
et alors son nombre de diviseurs est :
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)
On peut maintenant faire une recherche systématique :
Il semble qu’il faut supposer qued = 0 car avec -b = 0,c = 0,d = 0 on ne peut
1avoir que 2 0 qui n’a que 11 diviseurs,
-c = 0,d = 0 (a+1)(b+1)
9vaut 20 poura = 9 etb = 1 (2 ∗3 = 1536)
6 3vaut 28 poura = 6 etb = 3 (2 ∗3 = 1728)
-d = 0 (a+1)(b+1)(c+1)
7vaut 32 poura = 7,b = 1 etc = 1 (2 ∗3∗5 = 1920)
5 2vaut 36 poura = 5,b = 2 etc = 1 (2 ∗3 ∗5 = 1444)
- sid = 0
On tape :
210 6*
On obtient :
1260
et 1260 admet 3*3*2*2=36 diviseurs ou on tape :
size(idivis(1260)
On obtient :
36
On tape :
210 8*
On obtient :
1680
et 1680 admet 5*2*2*2=40 diviseurs ou on tape :
size(idivis(1680)
On obtient :
40
On fait une recherche systématique :
102 = 1024 a 11 diviseurs,
662.3. ÉNONCÉS SUR L’IDENTITÉ DE BÉZOUT 9
92 ∗3 = 1536 a 20 diviseurs,
7 22 ∗3 = 1116 a 24 diviseurs,
6 32 ∗3 = 1728 a 28 diviseurs,
4 42 ∗3 = 1296 a 25 diviseurs,
72 ∗3∗5 = 1920 a 32 diviseurs,
5 22 ∗3 ∗5 = 1440 a 24 diviseurs,
42 ∗3∗5∗7 = 1680 a 40 diviseurs.
2.2.3 L’énoncé 2
1/ Trouver le plus petit nombre entiern qui admet exactement 50 diviseurs.
2/ Existe-t-il un entierm qui soit inférieur àn et qui admette plus de 50 diviseurs ?
2.2.4 Réponse avecXcas
p q rOn sait que sin =a ∗b ∗c le nombre de diviseurs den est(p+1)(q+1)(r+1).
On a :
50=1 50=2 25=10 5=2 5 5 1/ On cherche le plus petit nombre entier qui* * * * *
admet exactement 50 diviseurs, donc les candidats sont :
42 9
22 4∗3
9 42 ∗3
4 42 ∗3 ∗5
4 4C’est donc 6480 = 2 ∗3 ∗5
On tape :
size(idivis(6480))
On obtient :
50
2/ On doit avoir :
4 4m < 2 ∗3 ∗5 donc pour qu’il est plus que 50 diviseurs il faut quem soit de la
p q r sformem = 2 ∗3 ∗5 ∗7 avecp<= 4,q < 4,r = 1,s = 1 et4(p+1)(q+1)> 50.
4 2Essayonsp = 4,q = 2, on a4(p+1)(q+1) = 60> 50 etm = 2 ∗3 ∗5∗7 = 5040.
Doncm = répond à la question.
2.3 Énoncés sur l’identité de Bézout
2.3.1 L’énoncé 1
Quel est le plus petit nombre entier avec lequel il faut multiplier 49 pour obtenir
un nombre se terminant par 999999999 (9 neufs) ?
Réponse niveau primaire
On peut faire une multiplication à trous :
49∗......... =..999999999
On trouve :
49∗693877551 = 33999999999
Réponse niveau collège
9On a9999999999 = 10 −1 et le résultat de la multiplication doit être de la forme10 CHAPITRE 2. ARITHMÉTIQUE EN TERMINALE
9 9 9n∗10 +10 −1 avec0≤n< 49 (ou de la formep∗10 −1) avec0<p≤ 49).
9 9On utilise le tableur en cherchantn pour que :n∗10 +10 −1 soit divisible par
49.
On utilisera les commandes irem(a,b) et iquo(a,b) qui renvoient respec-
tivement le reste et le quotient de la division euclidienne dea parb.
Pour cela on met dans la première colonne les nombres de 0 à 48, puis dans la deux-
9 9ième colonne les nombresn∗10 +10 −1 pourn de 0 à 48. Dans la troisième
colonne on calcule le reste de la division de la deuxième colonne par 49 et on trouve
que pourn = 33 ce reste est nul. Il reste à calculeriquo(33 10^9+10^9-1,49)*
et on trouve :
693877551
Mais cette méthode est très couteuse ! On peut aller un peu plus vite (surtout si on
veut faire les calculs à la main en remarquant que 10 = 3 mod 7 et que 100 =
2 mod 49 donc :
310 =−1 mod 7
610 = 1 mod 7
910 =−1 mod 7
8 4 910 = 2 = 16 mod 49 10 = 13 mod 49
913∗−7 = 7 mod 49 On cherchea tel quea∗10 = 49∗k +1 = 7∗p+1.
donc−a = 1 mod 7 et 13∗a = 1 mod 49
Sia = 48 on a 13∗a =−13 = 36 mod 49
Sia = 41 on a 13∗a = 13∗−1+13∗−7 =−13+7 =−6 mod 49
Sia = 34 on a 13∗a = 13∗−1+13∗−7+13∗−7 = 1 mod 49
9Donc 34∗10 = 1 mod 49
Il reste à calculeriquo(34 10^9-1,49) et on trouve :*
693877551
Réponse niveau TS
9On a : 999999999+1 = 10 .
9 9On cherchep pour avoir :p∗49 =a∗10 −1 c’est à dire 1 =a∗10 −p∗49.
AvecXcas on tape :
bezout_entiers(49,10^9)
On obtient :
[306122449,-15,1]
Donc :
9 9 949∗306122449−15∗10 = 1 et puisque 49∗10 −49∗10 = 0, on a :
9 949∗(10 −306122449)+(15−49)∗10 =−1.
9Puisque 10 −306122449 = 693877551 et (49−15) = 34, on a :
949∗693877551 = 34∗10 −1 = 33999999999
Pour faire les calculs à la main on écrit :
910 = 13 mod 49
donc on écrit les 2 premières équations :
0∗13+1∗49 = 49
1∗13+0∗49 = 13