FLEXION D'UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE

Georges Cailletaud

Description

26 FLEXION D'UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE x x1 3 Epaisseur b MM 2h x x2 Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre La poutre de la figure 1 possède une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b. Elle est chargée en flexion pure (cisaillements négligés), et on suppose qu'une section droite de normale x1 reste droite. Le comportement du matériau qui la constitue est élastique (E, ?) parfaitement plastique (?y). 1. Quelle est la distribution de contrainte et de déformation en élasticité ? En flexion pure, l'état de contrainte est uniaxial ; le déplacement u1, donc ?11 et ?11 sont proportionnels à x3 (origine des axes sur la ligne neutre). ? = ? ? ? 0 0 0 0 0 0 0 0 ? ? ; ?e = ? ? ?/E 0 0 0 ???/E 0 0 0 ???/E ? ? (1) L'écriture de l'équilibre des moments (Figure 2a) M = Z +h ?h x3?11bdx3 donne, en supposant que ?11 = kx3 : ?11 = ? = Mx3/I, avec I = 2bh3/3 ?max = ?m = 3M/2bh2 , ?(x3) = (x3 /h)?m 2.

• moment ?mm


• ?a ≤ x3


• déplacement vertical


• ?h


• déformation


• moment


• poutre de la figure


• noyau élastique

Sujets

• Déformation
• Moment

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Extrait

FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE

Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre

La poutre de la figure 1 possède une section rectangulaire, de hauteur 2het de largeurb. Elle est chargée en flexion pure (cisaillements négligés), et on suppose qu’une section droite de normalex 1 reste droite. Le comportement du matériau qui la constitue est élastique (E,n) parfaitement plastique (s y ).

1.Quelle est la distribution de contrainte et de déformation en élasticité ? En flexion pure, l’état de contrainte est uniaxial; le déplacementu 1 , donce 11 ets 11 sont proportionnels àx 3 (origine des axes sur la ligne neutre).    s0 0s/E0 0 e    s=; 0 0 0 e= 0−ns/E0 (1) 0 0 00 0−ns/E

L’écriture de l’équilibre des moments (Figure 2a) Z +h M=x 3 s 11 b dx 3 donne, en supposant ques 11 =kx 3 : −h 3 s 11 =s=Mx 3 /I, avecI=2bh/3 2 s max =s m =3M/2bh,s(x 3 ) = (x 3 /h)s m

2.Trouver le moment M e pour lequel la plasticité débute. 2 Il y a plastification lorsques m =s y , soit :M e =2bhs y /3

Figure 2 : Profil de contraintes 11 dans une poutre en flexion simple : (a) Elasticité, (b) En cours de plastification, (c) Charge limite

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3.Trouver la distribution des contraintes lorsque M dépasse M e . Montrer qu’il existe une valeur limite M ¥ du moment de flexion pour laquelle les déformations deviennent infinies. PourM>M e , il y a un noyau élastique−a≤x 3 ≤a, et deux zones plastiques, l’une en traction (x 3 >a), l’autre en compression (x 3 <−a). Dans le noyau élastique, on a toujours linéarité de la contrainte avecx 3 :s=kx 3 ; dans les zones plastiques, on