HISTOIRE DU STRUCTURALISME

Renaud Lancelot

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• exposé - matière potentielle : confus
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Renaud CHORLAY. Mars 2009. 1 HISTOIRE DU STRUCTURALISME PERIODES, PRATIQUES, STYLES Résumé Ce projet vise l'étude du structuralisme en mathématiques comme phénomène historique, sur la période 1860-1960. Il cherche à dépasser deux modes de lecture plus classiques : une lecture thématisée par les acteurs des phases tardives de ce mouvement, et centrée sur l'analyse des vertus épistémologiques de la méthode structurale ; des travaux d'histoire qui, soit portent sur des structures particulières (plus que sur le structuralisme), soit abordent la question du structuralisme mais se restreignent au cas de l'algèbre.

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Extrait

Renaud CHORLAY. Mars 2009. 1
HISTOIRE DU STRUCTURALISME
PERIODES, PRATIQUES, STYLES
Résumé
Ce projet vise l’étude du structuralisme en mathématiques comme phénomène historique, sur
la période 1860-1960. Il cherche à dépasser deux modes de lecture plus classiques : une
lecture thématisée par les acteurs des phases tardives de ce mouvement, et centrée sur
l’analyse des vertus épistémologiques de la méthode structurale ; des travaux d’histoire qui,
soit portent sur des structures particulières (plus que sur le structuralisme), soit abordent la
question du structuralisme mais se restreignent au cas de l’algèbre. Nous proposons une
analyse en termes de pratiques plutôt que de vertus, et une extension du corpus au-delà de
l’algèbre.
Notre travail sur l’histoire des théories géométriques nous permet d’identifier une série d’axes
de recherche, relatifs (1) au sens des méthodes axiomatiques, (2) au structuralisme comme
démarche spécifique orientée vers la résolution de problèmes, et (3) à la comparaison des
modalités épistémologiques et historiques de thématisation des notions d’isomorphisme d’une
part, de morphisme d’autre part. Le point (1) est en partie un travail de synthèse, les points (2)
et (3) constituent un travail largement original. L’entrée par les pratiques et la recherche des
différences spécifiques ont, par nature, des effets centrifuges. Sans que nous visions le moins
du monde une synthèse identifiant une « nature » « du » structuralisme, des réflexions de
méthode permettent à la fois de dépasser l’impression d’éclatement et de contribuer au
dialogue avec la communauté des historiens et des philosophes des sciences. Ainsi, la notion
de « style de raisonnement » fournit-elle une piste d’intégration et un point d’ancrage dans les
débats méthodologiques contemporains. Ainsi, le travail d’histoire sur les pratiques
mathématiques permet-il d’approfondir le dialogue que nous avons engagé avec la
communauté internationale qui se penche sur la « philosophy of mathematical practice ».
En vue de la réalisation de ce projet d’ensemble, nous identifions un sous-projet à engager
rapidement : celui de l’étude de la trajectoire de réécriture qui lie Elie Cartan et Charles
Ehresmann.Renaud CHORLAY. Mars 2009. 2
Plan
1 Motivations
1.1 Une lecture « mathématicienne » centrée sur les vertus épistémologiques
1.2 Une approche historique centrée sur l’histoire de l’algèbre
2 Axes de recherche
2.1 Axiomes et définitions axiomatiques
2.2 Des problèmes aux structures
2.3 De l’isomorphisme aux morphismes
3 Thèmes de méthode
3.1 Un outil intégrateur : la notion de style de raisonnement
3.2 Un dialogue avec la « philosophy of mathematical practice »
4 Un sous-projet à moyen terme : Elie Cartan et Charles Ehresmann
Bibliographie
1 Motivations
Cernons dans un premier temps le projet de recherche en soulignant les apports, mais aussi les
limites, de deux approches classiques du structuralisme en mathématique.
1.1 Une lecture « mathématicienne » centrée sur les vertus épistémologiques
Nous entendons ici par « lecture mathématicienne » ce qu’on trouve dans une série de textes –
textes programmatiques, analyse des travaux, conférences de vulgarisation, articles
polémiques, souvenirs etc., rédigés par des mathématiciens, qui informent et conditionnent
el’accès à ces questions pour le lecteur du 21 siècle. Qu’on pense, par exemple, aux
présentations des méthodes « modernes » en mathématiques de Hasse en 1930 (Hasse 1986)
ou de Weyl en 1932 (Weyl 1995), à L’architecture des mathématiques dessinée par Bourbaki
(Bourbaki 1948), ou, plus récemment, au bilan proposé par MacLane (MacLane 1996). Il ne
s’agit pas seulement d’en appeler ici au dépassement de ces textes – l’objectif va de soi – mais
aussi de montrer comment leur difficulté à saisir certains aspects dessine, en creux, des
chantiers de recherche.Renaud CHORLAY. Mars 2009. 3
Ces textes s’accordent sur une caractérisation minimale de la démarche structuraliste : étudier
les conséquences de systèmes de relations explicites (axiomes) portant sur des ensembles
d’éléments dont la nature n’a pas à être prise en compte ; cette caractérisation s’accompagne
bien sûr d’exemples paradigmatiques (groupe, corps, espace métrique, ensemble ordonné). Si
l’on s’en tient au cas de l’Architecture des mathématiques – ce n’est pas ici le lieu d’une
comparaison des textes – deux autres types d’éléments viennent caractériser cette méthode
« moderne ». Tout d’abord une série de caractérisations négatives, dessinant la figure
nouvelle par ce qu’elle n’est pas, ou ce avec quoi elle ne souhaite pas être confondue : elle se
1
veut le contraire du calcul (toujours qualifié d’aveugle, de brut…), l’ennemie du fait isolé ou
2
particulier ; elle ne souhaite pas être réduite à « l’armature d’une logique formelle, unité d’un
squelette sans vie » (Bourbaki 1948 47). Ensuite, une longue série de vertus épistémologiques
lui sont associées : cette méthode moderne fournit « l’intelligibilité profonde » des
mathématiques (Bourbaki 1948 37) en exhibant les structures transverses aux disciplines
3classiques ; elle construit les bons cadres de formulation et d’attaque des problèmes ; elle
substitue au chaos des connaissances dispersées d’une mathématique en croissance rapide de
4grands axes d’organisation permettant une vue d’ensemble ; elle permet, enfin, une
merveilleuse économie de pensée et de travail, en évitant de devoir refaire dans chaque
5contexte des raisonnements fondamentalement identiques .
Caractérisation minimale (syntaxique), désignation d’un extérieur du structuralisme, liste de
vertus ; ce qu’on fait, ce qu’on rejette, ce qu’on gagne à faire ainsi.
Face à ces descriptions – qu’on les juge enthousiasmantes ou schématiques – on peut
envisager au moins deux projets qui ne sont pas le nôtre. On peut chercher à approfondir la
question de la caractérisation du structuralisme en cherchant à préciser sa nature, à cerner son
unité. Pour ce faire, on pourrait par exemple envisager d’utiliser de manière récurrente (au
sens de Bachelard) les notions de la théorie des catégories ; d’une théorie des catégories vue

1 Bourbaki fait sienne la formule de Dirichlet : « substituer les idées au calcul » (Bourbaki 1948 47).
2
Les deux aspects peuvent être conjoints : « (…) moins que jamais, la mathématique est réduite à un jeu
purement mécanique de formules isolées. » (Bourbaki 1948 43)
3
Ce thème de l’intelligibilité est aussi celui mis en avant par Weyl : « We are not very pleased when we are
forced to accept a mathematical truth by virtue of a complicated chain of formal conclusions and computations,
which we traverse blindly, link by link, feeling our way by touch. We first want an overview of the aim and the
road ; we want to understand the idea of the proof, the deeper context. » (Weyl 1932 453)
4
MacLane et Bourbaki se répondent sur ce point : « The emphasis on mathematical structure has served
wonderfully to organize much of mathematics and to clarify some previously confused topics, such as Galois
theory, matrix calculation, differential geometry, and algebraic topology » (MacLane 1996 183) ; « [l’intuition,
désormais] domine d’un seul coup d’œil d’immenses domaines unifiés par l’axiomatique, où jadis semblait
régner le plus informe chaos » (Bourbaki 1948 43).Renaud CHORLAY. Mars 2009. 4
comme vérité d’un structuralisme enfin pleinement conscient de lui-même. On peut, et ce
serait un autre projet envisageable, centrer l’étude sur les vertus, en considérant que ces textes
les évoquent sans les définir. Cela ouvre sur un travail en deux temps. D’abord un travail
d’analyse épistémologique cherchant à préciser les notions d’intelligibilité, de compréhension,
de bon cadre, d’unification, d’économie de pensée etc. Ce terrain de recherche est
actuellement réinvesti par une certaine philosophie anglo-saxonne des mathématiques, nous y
reviendrons plus loin (3.2). Dans un second temps, un travail d’évaluation du structuralisme :
possède-t-il les belles vertus qu’il affiche ? Si oui, peut-on en rendre raison ?
Ces tâche de définition et d’évaluation ne sont toutefois pas celles que nous nous fixons
directement.
Nous souhaitons dans un premier temps mettre entre parenthèses la question des vertus