Méthode N°06: Fonctions usuelles

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+11 octobre 2012 ´TECHNIQUES & METHODES S05 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis!

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: methode-mpsi
• Nombre de lectures: 51
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S05

semaine du 3+11 octobre 2012

NB :ssiaerseunse´ecceerchefitteldnerpeqinhcetsminimales;elleneccnodusaptsnoeutimaf,unisbjnotiecsi!eruqrpe´

FONCTIONS USUELLES

Trigonome´trie
Re´soudreune´equationtrigonom´etrique
P´udune´equationtrigonome´triquesimple,j’utiliselese´quivalencessuivantes:
our reso re

cosx= cosa⇐⇒x≡a[2π] oux≡ −a[2π]
sinx= sina⇐⇒x≡a[2π] oux≡π−a[2π]
tanx= tana⇐⇒x≡a[π]

Pourr´esoudreune´equationtrigonome´triquedelaformeacosx+bsinx=c, avec (a b c)∈R3tel que (a b)6= (00), je
normalisecettee´quationpourmeramenera`unee´quationsimple:ilexisteθ∈Rtel que cosθ=a2a+b2et sinθ=
b
.Parconse´quent,acosx+bsinx=c⇐⇒cos(x−θ) =a2c+b2
a2+b2

Exercice 1 :peRlusoeszlteenesr´oitasocn’leduqe´eleccrelitnossru´etriquetrigonomx+sinx= 1.´eRnsep:ox≡2 [2π]oux≡0[2π]

Calculerunesommetrigonome´trique
Pourcalculerunesommedefonctionstrigonome´triquescirculairesouhyperboliques,jepasseenexponentielles(re´elle
ouimaginairepuresuivantlescas),j’appliquelaformuledubinˆomeoul’identit´ege´ome´triquepuisjereviensen
notationtrigonom´etriqueenprenantsuivantlescaspartiere´elleimaginaire,partiepaireouimpaire.

n−1
Exercice 2 :Soit (a x)∈R2tel quex6≡0[2π] etn∈N⋆. SimplifiezS(a x) =Xcos(a+kx):pe´Resnoprasc`ecualls
k=0
E(n−1+kx) sin(nx2)ei(a+n2−1x)Finalement, commeS(a x) =ReE(a x), j’obtiensS(a x) =nX−cos(1a+kx) = sin(nx2) cos((a+n2−1x)
a x) =Xei(a=(nix2)k=0 sin(x2)
k=0 s

Calculeraveclesfonctionshyperboliquesoutrigonome´triquesre´ciproques
Pourcalculeraveclesfonctionshyperboliquesre´ciproques,jepeuxutiliserlesexpressionslogarithmiques.Parcontre,
aveclesfonctionstrigonome´triques,jemerappellequeArcsin(x), Arccos (x) et Arctan (x)ssnt´tcee´ednodtsena
particuliers dexcnofnoitapselre´´cdenested¸afedresuqinunoctomiarepntsaleusc,sossninaP.o,tuescaourl´eriract
x, il faut aussi les localiser :

Pour montrer quet (= Arcsinx)
1n(siueeqifierv´jet) =x
2je localiset∈[−π2 π2]

Pour montrer quet (= Arccosx)
1soce(ri´equfieevjt) =x
2je localiset∈[0 π]

Exercice 3 : (1Calculer Arctan2) + Arctan (15) + Arctan (18)Re´opsn:eπ4

Pour montrer quet= Arctan (x)
1anetvejuqefiire´t=x
2je localiset∈]−π2 π2[

Manipuler les fonctions usuelles
Commentsimplifieruneexpressionoud´emontrerunee´galit´e
Ilexistetroisme´thodesdiffe´rentes
◮utiliser un changement de variable
◮t´egrerreupsini´drevi
◮utiliserpoe(unurthriquminoisagolxe’lserpdesfenirtervntiniaasoifnersseepxueoqprci´esrueiqlobrepyhsnoitcnos)
Exercice 4 :Simplifier Argch2+1x!R´eponse:2 Argch (x), pourx≥0.

Exercice 5 :Montrer que pour toutx∈R+Arccos11−+xx (= 2Arctanx)

1

Commentr´esoudreune´equation
Ilexistedeuxm´ethodesdiffe´rentes
◮ute´reidcnitalofnoflaucel.rueiqunonacslui,putemdanoitulosenqueltreruati’´eqmtnoe
◮eque`htS.esopputnaserparanalyse-synriaosnnxtsesutoln,iodeseresemi`esprisilutenitags’il´te´irporpseltna
fonctionsusuellesdeseramener`aunee´quationpolynomialeenx.

Exercice 6 :(nrdAecrat´Rseuox) + Arctan (x√21=7)3π.R´:seonepx= 1.

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