Méthode N°07: Équations différentielles linéaires

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S06 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis!

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: methode-mpsi
• Nombre de lectures: 29
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S06

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn
´ ´ ´
EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES

De´marchegenerale
´ ´
Lam´ethodeg´´eralepourre´soudreune´equationdiff´erentielleline´aireest
en
1noitulosuqe´’led´eRnhomatione,og`e
2e,ercitr`iluitulapnorehceRhcenosdeu’
3ssrendioxpEerale.oigne´´nlesalotu
Lesm´ethodespre´sente´esdanscechapitresontclass´eessuivantletyped’´equationdifferentielle.Pourchoisirla
´
me´thodeapproprie´e,jere´pondsa`cesdeuxquestions:

•eq’´tiua?onqeuelts’lrorddele
• ?les coefficients sont-ils constants
´
Equationdiffe´rentielleline´aired’ordre1,`acoefficientconstant
Onconsid`erel’´equation
y′+ay=b(t) `b:IKest continue
ou→
1eneamog`i´eessocqe´’ledeohnoitaungioutolalern´´easly′+ay= 0 estCe−at.
2erocsnattnp,lonyasd’unsecondmemblucire`inadecelsneulusoontirtpaai-lnymool,peltienonxp-elaimonylop,laimo
trigo est connue. J’ utilise leprincipe de superpositionpour m’y ramener.
´
Equationdiff´erentiellelin´eaired’ordre1,`acoefficientcontinu
Onconsid`erel’e´quation
y′+a(t)y=b(t)o`ua b:I→Ksont continues
1´eeng´ontilusolaoitauqe´’ledelarhnmogoe`ensaosic´eey′+a(t)y= 0 estCe−A(t),u`oA:I→Kest une primitive de
asurI.
2lotunuseartiionp`ereculinetbotsemalrapeuedodth´eiaaravelehceJ.erehcnsconttaontiladey0sous la forme :

a(t)×y0(t) =c(t)−A(t)
e
+1×y′0(t) =c′(t)−a(t)c(t)e−A(t)
y′0(t) +a(t)y0(t) =c′(t)e−A(t)
y0sera solution pourvu quec′(t) =b(t)e−A(t).
´
Equationdiffe´rentiellelin´eaired’ordre2,a`coefficientsconstants:solutionscomplexes
Onconside`rel’´equation
y′′+ay′+by=c(t)u`oc:I→Cest continue

1lalesurare´ne´gnoitulosCdey′′+ay′+byuitsntvascdianutanimdΔtnidelircstbneeune0=seotqeaule´’itno
caract´eristiquer2+ar+b (= 0.EC)
◮si Δ6=lusola0,eng´ontie´arelsetC1er1t+C2er2to`ur1etr2sont les racines de (EC)
◮Δ=sila0,luso(teslera´eeng´ontiC1+C2t)er0tu`or0est la racine double de (EC)
2attnp,lobmerocsnsecondmeecasd’undeunlsnaseernoctcuti`eliioutarnpselonunepoexall.ient,laimonyimonylop
J’utilise le principe de superposition pour vous y ramener.
´
Equationdiffe´rentiellelin´eaired’ordre2,`acoefficientsconstants:solutionsre´elles
Onconside`rel’e´quation
y′′+ay′+by=c(t)o`uc:I→Rest continue

1rusalosg´ontilulera´eenRdey′′+ay′+byuivantlescutantsneeuneid0=seottboneq’´tiuatnanledΔcsidimir
caracte´ristiquer2+ar+b (= 0.EC)
◮si Δ>0,lsteealre´ne´gnoitulosaC1er1t+C2er2to`ur1etr2sont les racines de (EC)
◮siΔ=0,lasolutiogne´´nrelaeets(C1+C2t)er0tuo`r0est la racine double de (EC)
◮si Δ<tsee,las0oignloturelae´´neρtC1cos(ωt) +C2sin(ωt)uo`ρ±iωsearicensnolt´eesde(sconjuguEC)
2apnoitulosenucosteeeri`ulicrtdsu’elacadsnnneueconembrondmnsec,eltiennymop,lopxnoaielt,postanmiallyno
polynomial trigo. J’utilise le principe de superposition pour m’y ramener.

1

´
Equationdiff´erentielle
Onconsid`erel’´equation
y′′+

line´aire

a(t)y

d’ordre2,`acoefficientscontinus

′+b(t)y=c(t)

oua b c:I→Ksont continues
`

Ces´equationsnesontpasauprogrammeofficiel:l’e´nonc´edoitvousguiderpourvousramenerauxcaspr´ece´dents.
Souventl’enonc´epropose
´
◮un changement de fonction inconnue
◮un changement de variable.

2