Méthode N°14: Entiers relatifs, arithmétique
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Méthode N°14: Entiers relatifs, arithmétique

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+14 janvier 2012 ´TECHNIQUES & METHODES S13 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´ENTIERSRELATIFS,ARITHMETIQUE Divisibilit´e Comment montrer que a divise b • en pratique, vous pouvez utiliser une d´ecomposition primaire de a et b.

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Langue Français

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S13

semaine du 3+14 janvier 2012

NB :ssiaerseunse´ecceerchefitteldnerpeqinhcetsminimales;elleneccnodusaptsnoeutimaf,unisbjnotiecsi!eruqrpe´
´
ENTIERS RELATIFS, ARITHMETIQUE

Divisibilite´
Comment montrer queadiviseb
•arpnuqitov,eopsuee´ocpmsotioipniruvezutiliserunedeedirmaaetb.
•eeididennnoislcueseuqselre´htnoitoupceutzeffeidivrealues,oriqpouvvousbparaet montrer que le reste est
nul.
•vous pouvez utiliser lessaueGdeme`roe´htet montrer queadivisebc`ou,cer`aremiestpa.

PGCD,PPCM
Comment calculerPGCD(a b)ouPPCM(a b)

•ranpeov,euqitzevuopsueedutiliseruned´ecopmsotioipniramriaetb.
•´gomoh’dse´te´ir´eit´eenisevccsenousasitpropedes’aids`alouvrospde´capzecafrirot
•vous pouvez utiliser l’algorithme d’EuclideimrePrenruopte´dD(GCa bispuetd´)asilituntnrlnemierMePCrPeu

PGCD(a b)×PPCM(a b) =|ab|

vousutilisezlescaract´erisationsalge´briquesetarithm´etiquesduPGCDetduPPCM

Comment mettre en œuvre l’algorithme d’Euclide
Soit (a b)∈Z2, on calculed=P GCD(a b). Pour cela :
on posea0= max{|a||b|}eta1= min{|a||b|};
l:tenuvisoinoenffseectuedesdiensscueccuilidneu’sql’`aivssjuesu’dnsernetbooitn

∀k∈[1 m]] ak−1=akqk+ak+1aveca0≥a1> a2>∙ ∙ ∙> am> am+1= 0

d=amest le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.
Commentobtenirunee´galit´edeBezout
Soit (a b)∈Z2, on noted=P GCD(a b). Pour cela :
goall’iuse´detnruonuticlEuefidthrid’meeisrnted’entecroissaa0≥a1>∙ ∙ ∙> am> am+1= 0 tels que
•a0=±aeta1=±b(oua0=±beta1=±a),am=d
• ∀k∈[1 m]] ak−1=akqk+ak+1(Lk)
pr’as(`edLm−1) ,amedermbinaisonlin´eai’sxerpmicemoemocam−2etam−1:
am=CL(am−2 am−1)
a’rprod,e`(sLm−2),am−1ncsti’enfoiˆmeemleueix-prmnoedam−3etam−2no,ontcaa¸plemnrsrolatneitbE.am
commecombinaisonline´airedeam−3etam−2:
am=CL(am−3 am−2)
par remonteedne´o,enuqeudtiamiae´nilnedermecocomaisombina0eta1
´
am=CL(a0 a1) =CL(a b)

Exercice 1 :5edD1te4te05´enualeg´eitBedeutzoD´eterminezlePGC.enspo´eRP GCD(15054) = 6 et 4×150−11×54 = 6

Nombres premiers entre eux
Comment montrer queaetbsont premiers entre eux
•CG(DfiizeuqPevousv´era b) = 1
•vous utilisez ler`eoh´tezeBedemuot
•vous montrez queaetbn’ont pas de diviseurs premiers communs.

1

R´esolutiond’e´quations
Commentr´esoudreunsyst`emePGCD,PPCM
Pourre´soudredansZ2e(em`tsyselS)PPPDCGMC((yyxx)=)=md
Sidne divise pasm, (S) n’a pas de solutions dansZ2. Sinon, on effectue le changement d’inconnuesx=dx′et
y=dy′.
edDn’oaisitoroplsparpe`Factorisation par le PGCD,x′ety′sont premiers entre eux et (S´’la`tuanoitauqe)´equiv

x′y′=m
.
echnaO´rseevaloienlotulectns´eantpionndseitnorisaactolesfarmim′celles pour lesquelles les diviseursx′et
`
y′sont premiers entre eux.
Cetteme´thodepeuts’appliquerplusge´ne´ralementa`toutsyste`med’´equationmettantenjeuPGCDet/ouPPCM.
Commentre´soudrel’´equationdiophantienneax+by=c
Pourre´soudredansZ2leq’´(tiounaE)ax+by=c`u,o(a b c)∈Z3.
´dnOmineeterd=P GCD(a b) :
◮sidne divise pascuaeqonti’´,l(E) n’a pas de solutions dansZ2;
◮sino`mneaerp,nnoesarlpmisse`noitacfiirpadeitneocffi(scaauscle`usoa′ b′) sont premiers entre eux :

(E)⇐⇒a′x+b′y=c′`uoa′etb′sont premiers entre eux

Ond´eterminenuselotuoipnraitculi`ere(x0 y0a’ladedienu’age´t´lieBedouezEnt.)`alc¸erpmsecenaltembrondme,
on obtient une equation du type :
´

a′(x−x0) =b′(y0−y)o`ua′etb′sont premiers entre eux

Onach`evealorslare´solution`al’aideduth´esaGsuemedroe`.

Exercice 2 :ouesr´onsnadtZ2i(tnaouqe´’lE) 9x+ 15y= 18.po´ee:nsRS=˘(12−5k3k−6);k∈Z¯.

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