Méthode N°17: Suites numériques

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S18 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! LIMITED’UNEFONCTION ´Etudier l’existence de la limite d’une fonction ¯Soit f : I →R, a∈ I∪{±∞}. Comment montrer que f ne poss`ede pas de limite en a J’utilise la caract´erisation s´equentielle de la limite (sens ´el`eve). Il suffit d’exhiber : N ◮ une suite u = (u )∈ I telle que lim u = a et (f(u )) est divergente; ou bienn n n n→+∞ ◮ deux suites (u ) et (v ) telles que limu = limv = a et limf(u ) = limf(v ).n n n n n n n n n n Comment montrer que f admet une limite en a Il y a trois pistes possibles. J’utilise au choix : ◮ le th´eor`eme de la limite monotone; ◮ les th´eor`emes de comparaison; ◮ les op´erations i.e. op´erations alg´ebriques et composition. ´Etudier l’existence et calculer la valeur d’une limite par op´erations Comment se ramener au voisinage de 0 Tout d’abord, pour ´etudier la limite de f(x) quand x tend vers a, il est souvent pr´ef´erable de se ramener au voisinage de 0, par exemple pour utiliser les ´equivalents usuels, en effectuant le changement de variable (et donc aussi de ¯x = a+t et g(t) = f(a+t) si a∈ I fonction) ad´equat : .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: methode-mpsi
• Nombre de lectures: 26
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

´
TECHNIQUES & METHODES S18

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :ceseasriinuqse´nesficteetcnerperehhcetseldminimales;elledeutpcnoocenitsnifctai,munasjeob!sqeiu´rreuspn

LIMITE D’UNE FONCTION

´
Etudier l’existence de la limite d’une fonction
¯
Soitf:I→R,a∈I∪ {±∞}.

Comment montrer quefnpeso`sdepesaedentemilia
J’utilise laaracasire´tclamideleties´eqtionielluent:xh’eeribslI.dtffiu`le´)eveessn(
◮une suiun=aet
teu= (un)∈INtelle quenl→i+m∞(f(un ; ou bien)) est divergente
◮deux suites (un) et (vn) telles que limun= limvn=aet limf(un)6= limf(vn).
n n n n

Comment montrer quefadmet une limite ena
Il y a trois pistes possibles. J’utilise au choix :
◮letoe´hme`rledemilanoenototime;
◮;nosiaraplseecommesdor`eth´e

◮les operationsi.e..´eopgle´rbqiaritnoaspositionuesetcom
´
´
Etudier l’existence et calculer la valeur d’une limite par operations
´
Comment se ramener au voisinage de0

Toutd’abord,poure´tudierlalimitedef(x) quandxtend versai,eltsosvunepteaginisvoauerenamresedelbare´fe´r
de 0, par exemple pour utiliser les equivalents usuels, en effectuant le changement de variable (et donc aussi de
´
¯
fonction)ad´equat:xx==a1+ttteteg(gt()t=)=f(f1(ta)+tis)siaa∈=I±∞nseras,oncecEuted’le´ena`mae`degen 0 (ou en
0±sia=±∞) car
(∀ℓ∈R)¯xli→maf(x) =ℓ⇐⇒lti→m0g(t) =ℓ
D’autrepart,s’ils’agitd’unefonctionusuelle,iln’yapasdeprobl`emepuisquejeconnaisparfaitementleslimitesdes
fonctions usuelles ! Sinon,fglasnoitare´poteontisipoomrcpanss:ique´ebrctsefsnotcoidrteleele`apartionstruit
Comment´etudierunelimiteparchangementdevariable
Sifest uneocpmsoe´ede fonctions usuelles,f(x) =g◦y(x). J’effectue le changement de variabley=y(x) :
•limy(x) =b
•lyi→mbg(y) =ℓ!⇒xli→mag◦y(x) =ℓ
x→a
Ainsi, je calculeb=xli→may(x), puisℓ= limbg(y lim) et conclus par composition quef(x) =ℓ.
y→x→a
Commente´tudierunelimiteparOPA
Lorsquefppazuqilelree´ht`eorme´pretaoisnla´gberiques,vouspouveitrapa`etcnofedrueusnsioropaesllestcruitonst
OPA.Lame´thodeestparticulie`rementsimple:itnoimantereind´asd’’yap’ilns, la limite defest obtenue par ces
meˆmesop´erationsalg´ebriquessurdeslimites.Toutefois,ilestfortprobable(!!)qu’apparaisselorsducalculuneforme
inde´termine´eforme:+enxerpseisnoedalc’,t-es-d`aeuir∞ − ∞∞∞000× ∞1∞00. Par exemple si limau(x) = 0
et limav(x) = +∞´hte`roeOemeenAP,llamiiolrpuortideetpapermr´evsdepitduu(x)v(xdnepe´dtaledou:t)
vitesseavec laquelleu(x) etv(x) tendent vers leurs limites respectives.

Commente´tudieretcalculerunelimitepare´quivalent
Encasd’ind´etermination,onpeutparfoisleverl’ind´eterminationensimplifiantl’expressiondef’aal`p´’oedidsnoitare
alge´briques,parexempleenmultipliantunefractionparl’expressionconjugue´edud´enominateur.Maisenre`gle
´e´rale,onproce`depar´equivalent.Lecalculdeslimitesviaevripvearlme´neqtusplroeusetdelafa`iosl’existence
gen
et lavaleurde la limite. En effet sif(x)∼ag(x) alors :
(∀ℓ∈¯R)xli→maf(x) =ℓ⇐⇒xli→mag(x) =ℓ

En pratique,mps:uxteendeeetshtdomae´l
1mpsiuspllentlevaiuqe´nuenimrete´jednction.eledalofelopssbi
2f(x) etg(x,j’ulentseletilitiselsmiedsleerinrmteormpcoosedtnemaviuqe´nrdoute´emete.Pntocemropmno)eˆmt
fonctions usuelles et les relations de comparaisons entre ces fonctions usuelles.

1

´
EQUIVALENT D’UNE FONCTION

Commentobtenirune´quivalentd’unefonctionauvoisinagedea
Lafaconlaplussimpleest´evidemment`autiliserlalimitenonnulle:sif(x)−−→ℓ, avecℓ∈R⋆´eelunrul,nonn
¸
x→a
alorsf(x)∼aℓ. Sinon, il y a trois pistes possibles. J’utilise au choix :
◮ ;les OPA
◮ ;le changement de variable
◮leleeedriv´ad´eveclienafena.

Comment se ramener au voisinage de0
Commeles´equivalentsusuelssontpresquetousauvoisinagede0,jecommenceparmeramenerauvoisinagede0au
moyenduchangementdevariableadapt´e:
¯
◮x=a+t, avect→0 sia∈I;
◮x= 1t, avect→0±, sia=±∞.
Commentobtenirune´quivalentparchangementdevariable
Sifesllueus,fedee´sosnoitcnotsepmocf(x) =g◦y(x). J’effectue le changement de variabley=y(x) :
•limy(x) =b
•g(y)∼bh(y)!⇒g◦y(x)∼ah◦y(x)
x→a
Ainsi, je calculeb= limy(xuenimrete´dejsiu,p)delentuivan´eqgau voisinage deb:g(y)∼bh(y) et conclus par
x→a
composition`adroitequef(x) =g◦y(x)∼ah◦y(x).
Commentobtenirune´quivalentparOPA
Lesope´rationsalg´ebriquesdirectementcompatibles
Sifest construite commeproduit,puissanceouquotientdprroeti´sd´eomecitapilibe´tefonctionsusuellsej,u’itileselps
dese´quivalentsaveccesope´rations.
Commentde´terminerune´quivalentd’unesomme
Sifest construite commesommeseedmmsolantsaainfetnelaviuqe´nusrastoujouobtientpno,sno’nedofcnit
e´quivalentscarlasommen’estpascompatibleaveclecalculdese´quivalents...prudence !

Pourde´terminerun´equivalentdef(x) =f1(x) +f2(x) au voisinage deavnieleaceo´cumqmer´eneutamprdnri,jeent
simple de chaque terme :
f1(x)∼ag1(x)et f2(x)∼ag2(x)
◮sig1≥0,g2≥0 dans un voisinage dea, alors

◮

f(x)∼ag1(x) +g2(x) ;

danslecasg´en´eral,jerangetsreelraroemps´eeneddrbieaiggliS.e´tilf2(x) =oa(f1(x)),oudefa¸cnoe´uqvilaneet
sig2(x) =oa(g1(xuaetnelaviuqe),)rolasalsemmo´tseterme dominant

f(x)∼af1(x)∼ag1(x) ;

◮astpmˆdeessnenoitselemreevireuqrn´egligeunnesoitteuqa’cumesegienrrpaleabrtpoaputarilpeent,alemnfi
`al’autre,pasdebol...danscecas,j’utilisela´sariontirlpaiffadtce´acarbt ir
erencepour o en

f1(x) =g1(x) +o(g1(x))
f2(x) =g2(x) +o(g2(x))

Commeils’agitd’´egalite´fonctionnelles,jepeuxajoutertermea`termeetutiliserlesr`eglesdecalculavecles“o”.

Commentobtenirun´equivalent`al’aidedelad´erive´
e
Les´equivalentsusuelsonttouse´t´e´etablis`al’aidedelade´rive´e,sifneelbavired´ontincfoneua∈Iivrtee´efif′(a)6= 0,
alors :
f(x)−f(a)∼af′(a)(x−a)

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