Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Diagonalisation simultanée de formes bilinéaires symétriques

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Diagonalisation simultanée de formes bilinéaires Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02756 ] [correction] +Soient A,B∈S (R).nsymétriques a) Montrer que si A est définie positive alors il existe P∈ GL (R) et D∈M (R)n n t tdiagonale telles que A = PP et B = PDP. t 1−tExercice 1 [ 00025 ] [correction] b) Montrer que (detA) (detB) 6 det(tA + (1−t)B) pour tout t∈ ]0, 1[. ++Soient A∈S (R) et B∈S (R).nn Etablir qu’il existe une matrice P∈ GL (R) et une matrice D∈D (R) vérifiantn n Exercice 7 Centrale MP [ 02406 ] [correction]t tA = PP et B = PDP t ++SoitP ={A∈M (R),A + A∈S (R)}.n n a) Soit A∈M (R). Montrer que A∈P si, et seulement si, :n n t∀X∈R \{0}, XAX > 0Exercice 2 Centrale MP [ 02405 ] [correction] ++Soient A∈S (R) et B∈S (R).n n ++b) Soient A∈P et S∈S (R). Montrer, si λ est valeur propre complexe de SA,nMontrer que le polynôme det(A−XB) est scindé surR. que Reλ> 0. Exercice 3 Centrale MP [ 02398 ] [correction] ++Soient A et B dansS (R).n a) Montrer qu’il existe P∈ GL (R) et Δ∈M (R) diagonale à coefficientsn n diagonaux > 0 telles que t tA = PP et B = P ΔP b) Montrer que det(A +B)> detA + detB +c) Montrer que l’inégalité de b) subsiste si A,B∈S (R).n Exercice 4 Centrale MP [ 02407 ] [correction] ++Soient A et B dansS (R) telles que :n t t∀X∈M (R), XAX 6 XBXn,1 Montrer detA6 detB Exercice 5 Centrale MP [ 02402 ] [correction] ++Soient A∈S (R) et B∈S (R).nn Montrer que AB est diagonalisable.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Diagonalisation simultanée
symétriques

de

formes

Enoncés

bilinéaires

Exercice 1[ 00025 ][correction]
SoientA∈ Sn++(R)etB∈ Sn(R).
Etablir qu’il existe une matriceP∈GLn(R)et une matriceD∈Dn(R)vérifiant

A=tP PetB=tP DP

Exercice 2Centrale MP[ 02405 ][correction]
SoientA∈ Sn(R)etB∈ Sn++(R).
Montrer que le polynômedet(A−XB)est scindé surR.

Exercice 3Centrale MP[ 02398 ][correction]
SoientAetBdansSn++(R).
a) Montrer qu’il existeP∈GLn(R)etΔ∈ Mn(R)diagonale à coefficients
diagonaux>0telles que
A=tP PetB=tPΔP

b) Montrer que

det(A+B)>detA+ detB

c) Montrer que l’inégalité de b) subsiste siA B∈ Sn+(R).

Exercice 4Centrale MP[ 02407 ][correction]
SoientAetBdansSn++(R)telles que :

Montrer

∀X∈ Mn1(R)tXAX6tXBX

detA6detB

Exercice 5Centrale MP[ 02402 ][correction]
SoientA∈ Sn++(R)etB∈ Sn(R).
Montrer queABest diagonalisable.

1

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02756 ][correction]
SoientA B∈ Sn+(R).
a) Montrer que siAest définie positive alors il existeP∈GLn(R)etD∈ Mn(R)
diagonale telles queA=tP PetB=tP DP.
b) Montrer que(detA)t(detB)1−t6det(tA+ (1−t)B)pour toutt∈]01[.

Exercice 7Centrale MP[ 02406 ][correction]
SoitP={A∈ Mn(R) A+tA∈ Sn++(R)}.
a) SoitA∈ Mn(R). Montrer queA∈ Psi, et seulement si, :

∀X∈Rn {0}tXAX >0

b) SoientA∈ PetS∈ Sn++(R). Montrer, siλest valeur propre complexe deSA,
que Reλ >0.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SurRnmuni de sa base canonique,Aest la matrice d’un produit scalaire. Pour ce
produit scalaire, il existe une base orthonormée telle que la forme bilinéaire
symétrique représentée parBsoit une matrice diagonaleD. La matrice du
produit scalaire dans cette base orthonormée est l’identité et par la formule de
changement de base,A=tP InPetB=tP DP.

Exercice 2 :[énoncé]
Par diagonalisation d’une forme bilinéaire symétrique dans un espace euclidien
dont le produit scalaire est défini par la matriceB, on peut écrire affirmer qu’il
existeP∈GLn(R)vérifiantB=tP PetA=tP DP. On a alors
det(A−XB) = (detP)2χD(X)scindé.

Exercice 3 :[énoncé]
a) SurE=Mn1(R),ϕ(X Y) =tXAYdéfinit un produit scalaire et
ψ(X Y) =tXBYdéfinit une forme bilinéaire symétrique. Par le théorème
spectral, il existe une base orthonormée deEpourϕdiagonalisant la forme
bilinéaire symétriqueψ. Pour la matrice de passagePde la base canonique deE
(dans laquelleϕetψsont représentées parAetB) vers la base orthonormée
précédente la relation de changement de base donne :A=tP InPetB=tPΔP.
De plus, la forme bilinéaire symétriqueψétant définie positive, les valeurs
diagonales deΔsont strictement positives.
b) Notonsλ1     λnles valeurs diagonales deΔ.
detA= (detP)2,detB=λ1   λn(detP)2et
det(A+B) = (1 +λ1)  (1 +λn)(detP)2
Lesλiétant positifs :

donc

1 +λ1   λn6(1 +λ1)  (1 +λn)

detA+ detB6det(A+B)

c) Toute matrice symétrique réelle positive peut tre diagonalisée via une matrice
orthogonale en une matrice diagonale à coefficients diagonaux positifs. Cette
dernière peut se voir comme limite d’une suite de matrices diagonales à coefficients
diagonaux strictement positifs. Par suiteSn+?(R)est denseSn+(R). Par continuité
du déterminant et densité, la relation précédente s’étend àA B∈ Sn+(R).

Exercice 4 :[énoncé]
Par diagonalisation d’une forme bilinéaire symétrique dans un espace euclidien
dont le produit scalaire est défini par la matriceA, on peut écrire affirmer qu’il
existeP∈GLn(R)vérifiantA=tP PetB=tP DPavecDdiagonale,
D=diag(λ1     λn).
En notantEjles colonnes élémentaires, pourX=P−1Ej, la condition
tXAX6tXBXdonne16λj.
On a alors
n
detB= (detP)2Yλj>(detP)2= detA
j=1

Exercice 5 :[énoncé]
Par diagonalisation d’une forme bilinéaire symétrique dans un espace euclidien
dont le produit scalaire est défini par la matriceA, on peut écrire affirmer qu’il
existeP∈GLn(R)vérifiantA=tP PetB=tP DPavecDdiagonale.
On a alorsAB=tP PtP DPdonc(tP)−1ABtP=PtP DPtP.
La matriceABest donc semblable àPtP DPtPqui est une matrice symétrique
réelle donc diagonalisable.

2

Exercice 6 :[énoncé]
a)ϕ: (X Y)7→tXAYetψ: (X Y)7→tXBYdéfinissent respectivement un
produit scalaire et une forme bilinéaire symétrique surMn1(R)représentés par
les matricesAetBcanonique. Par le théorème spectral, il existe unedans la base
base orthonormée pour le produit scalaireϕdiagonalisant la forme bilinéaire
symétriqueψ. En notantPmatrice de changement de base correspondante, lesla
formules de passage donnentA=tP InP=tP Pcar la nouvelle base est
orthonormée pourϕetB=tP DPavecDdiagonale car celle-ci diagonaliseψ.
b) Cas :la matriceAest définie positive.
Par le résultat précédent, il suffit d’établir(detD)1−t6det(tIn+ (1−t)D)avec
Dmatrice diagonale à coefficients diagonauxλ1     λnpositifs. On souhaite donc
établir,
i=Yn1λi!1−t6i=Yn1
(t+ (1−t)λi)
Or pour toutλ>0,λ1−t6t+ (1−t)λ.
En effet pourλ= 0, la propriété est immédiate et pourλ >0, celle-ci équivaut à
tln 1 + (1−t) lnλ6ln(t+ (1−t)λ)qui découle de la concavité du logarithme.
On peut donc conclure en multipliant les comparaisons06λi1−t6t+ (1−t)λi.
Cas : la matriceAest positive.

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Corrections

La matriceAp=A+p1Inest définie positive et donc
(detAp)t(detB)1−t6det(tAp+ (1−t)B)pour toutt∈]01[.
En passant à la limite quandp→+∞, on obtient
(detA)t(detB)1−t6det(tA+ (1−t)B)(avec icidetA= 0siAn’est pas définie
positive).

Exercice 7 :[énoncé]
a) SupposonsA+tA∈ Sn++(R). PourX∈Rn {0},tXAX=tXtAXdonc
tXAX= 1tX(A+tA)X>0
2

Inversement, si la condition

est vérifiée alors on a aussi

donc

∀X∈Rn {0}tXAX >0

∀X∈Rn {0}tXtAX >0

∀X∈Rn {0}tX(A+tA)X >0

Puisque la matriceA+tAest évidemment symétrique, on obtient
A+tA∈ Sn++(R).
b) Commençons par observer que pourA∈ P, les valeurs propres complexes deA
sont de partie réelle strictement positive. Soitλ∈CetZ∈Cn {0}vérifiant
AZ=λZ. En écrivantZ=X+iYavecX Ycolonnes réelles etλ=α+iβavec
α β∈R, la partie réelle de la relationZ?AZ=λZ?Zdonne
tXAX+tY AY=αkZk2. On en déduitα >0.
PourA∈ PetS∈ Sn++(R), on peut écrireS=tP PavecP∈GLn(R). On a alors
(tP)−1SAtP=P AtP. En posantB=P AtP, on peut affirmer queSAetBsont
semblables et ont donc les mmes valeurs propres.
PourX∈Rn {0},tXBX=tY AYavecY=tP X6= 0donctXBX >0. Par
suiteB∈ Pce qui permet de conclure.

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