Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Endomorphismes autoadjoints positifs
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Endomorphismes autoadjoints positifs Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02753 ] [correction] Soient E un espace euclidien et u∈L(E) symétrique défini positif. Montrer que, pour tout x∈E,Exercice 1 [ 00008 ] [correction] 4 −1 ? + kxk 6hu(x),xi u (x),xSoient f∈L(E) et u =f ◦f. Montrer que u∈S (E). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait égalité. Exercice 2 [ 00009 ] [correction] Soit u un endomorphisme symétrique positif d’un espace vectoriel euclidien E. Exercice 6 [ 00629 ] [correction] 2a) Montrer qu’il existe un endomorphisme v symétrique positif tel que u =v . Soit E un espace euclidien. Montrer l’équivalence des assertions suivantes ?b) Etablir l’unicité de v en étudiant l’endomorphisme induit par v sur les (i) uu u =u; ?sous-espaces propres de u. (ii) uu est un projecteur orthogonal; ?(iii) u u est un pro; ⊥(iv) (keru) ={x∈E/ku(x)k =kxk}. Exercice 3 Centrale MP [ 02399 ] [correction] Soit (E,h|i) un espace euclidien et A un endomorphisme symétrique défini positif de (E,h|i). On pose Exercice 7 [ 03329 ] [correction] −1hx|yi = A x|y Soitu un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E de dimensionn nonA nulle.pour tous x,y∈E. On posea) Montrer queh|i est un produit scalaire.A H ={x∈E/(u(x)|x) = 1}uSoit B un endomorphisme autoadjoint de (E,h|i).

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Exrait

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Endomorphismes autoadjoints positifs

Exercice 1[ 00008 ][correction]
Soientf∈ L(E)etu=f?◦f. Montrer queu∈ S+(E).

Exercice 2[ 00009 ][correction]
Soituun endomorphisme symétrique positif d’un espace vectoriel euclidienE.
a) Montrer qu’il existe un endomorphismevsymétrique positif tel queu=v2.
b) Etablir l’unicité deven étudiant l’endomorphisme induit parvsur les
sous-espaces propres deu.

Enoncés

Exercice 3Centrale MP[ 02399 ][correction]
Soit(Eh | i)un espace euclidien etAun endomorphisme symétrique défini positif
de(Eh | i). On pose
hx|yiA=A−1x|y
pour tousx y∈E.
a) Montrer queh | iAest un produit scalaire.
SoitBun endomorphisme autoadjoint de(Eh | i).
b) Montrer queABest diagonalisable
SiMest un endomorphisme diagonalisable deE, on noteλmin(M)(resp.
λmax(M)) sa plus petite (resp. grande) valeur propre.
c) Montrer que l’image deE\ {0}par

x7→ hBx|xi
hA−1x|xi

n’est autre que le segment d’extrémitésλmin(AB)etλmax(AB).
d) Montrer que

λmin(A)λmin(B)6λmin(AB)6λmax(AB)6λmax(A)λmax(B)

Exercice 4Centrale MP[ 02400 ][correction]
Soituun automorphisme d’un espace euclidienE.
a) Montrer quev=u?uest autoadjoint défini positif.
b) Montrer qu’il existewautoadjoint positif tel quev=w2, etρorthogonal tel
queu=ρw.
c) Montrer que cette décomposition deuest unique.
d) Comment interpréter ces résultats de façon matricielle ?

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02753 ][correction]
SoientEun espace euclidien etu∈ L(E)symétrique défini positif. Montrer que,
pour toutx∈E,
kxk46hu(x) xiu−1(x) x

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait égalité.

Exercice 6[ 00629 ][correction]
SoitEun espace euclidien. Montrer l’équivalence des assertions suivantes
(i)uu?u=u;
(ii)uu? ;est un projecteur orthogonal
(iii)u?uest un projecteur orthogonal ;
(iv)(keru)⊥={x∈Eku(x)k=kxk}.

1

Exercice 7[ 03329 ][correction]
Soituun endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidienEde dimensionnnon
nulle.
On pose
Hu={x∈E(u(x)|x) = 1}
a) Enoncer une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre deupour
qu’il existe un vecteur unitaire élément deHu.
b) Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre dev−1◦u
pour queHu∩Hv6=∅.

Exercice 8[ 03330 ][correction]
Soitv∈ L(E)autoadjoint défini positif.
a) Montrer qu’il existe un endomorphismesautoadjoint défini positif vérifiant
s2=v.
b) Soituun endomorphisme autoadjoint deE. Etablir quev−1◦uest
diagonalisable.

Exercice 9CCP PSI[ 03384 ][correction]
Soit(e1     en)une base quelconque d’un espace euclidienE.
a) Montrer que l’endomorphismefdonnée par

n
f(x) =X(ek|x)ek
k=1

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est autoadjoint et défini positif.
b) Montrer qu’il existe un endomorphisme autoadjoint positifgdeEtel que

g2=f−1

c) Montrer que la famille(g(e1)     g(en))est une base orthonormale deE
(indice : on pourra introduire les vecteursuitels quef(ui) =ei)

Exercice 10CCP MP[ 03692 ][correction]
Soitpun entier naturel impair etuun endomorphisme symétrique d’un espace
euclidien de dimensionn.
a) Montrer qu’il existe un unique endomorphisme symétriquevtel quevp=u.
b) Que se passe-t-il sip ?est pair
c) Sipest pair etupositif ?
d) Sipest pair etuetvpositifs ?

Enoncés

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
u?= (f?◦f)?=f?◦f=udoncu∈ S(E)
Siλest valeur propre deuassociée au vecteur proprex6= 0alors
(x|u(x)) =λkxk2et(x|u(x)) =kf(x)k2doncλ=kfk(xxk)2k2>0.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a)uest diagonalisable et ses valeurs propresλ1     λrsont positives.Eest la
somme directe orthogonale des sous-espaces propresEλ1     Eλr, notons
p1     prles projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition.
On au=λ1p1+∙ ∙ ∙+λrpret en posantv=√λ1p1+∙ ∙ ∙+√λrpr, on av2=u
avecvendomorphisme symétrique positif. On peut aussi proposer une résolution
matricielle via représentation dans une base orthonormée
b) Soitvsolution. Pour toutλ∈Sp(u),F=Eλ(u)est stable parvcaruetv
commutent.vF∈ S+(F)etvF2=λIdFdonc via diagonalisation devF, on obtient
vF=√λIdF. Ceci déterminevde manière unique sur chaque sous-espace propre
deuet puisque ceux-ci sont en somme directe égale àE, on peut conclure à
l’unicité dev.

Exercice 3 :[énoncé]
a)A∈ Sn+?(E)doncA−1∈ Sn+?(E)et par suiteh | iAest un produit scalaire sur
E.
b) On a
hx|AByiA=A−1x|ABy=hx|Byi=hBx|yi=hABx|yiA

L’endomorphismeABest autoadjoint dans(Eh | iA)donc diagonalisable.
c) On a
hBx|xi hABx|xiA
=
hA−1x|xikxk2A
En introduisant une base orthonorméeB= (e1     en)de(Eh | iA)formée de
vecteurs propres deAB, on peut écrire pourx=x1e1+∙ ∙ ∙+xnen,

hABx|xiAλ1x21+∙ ∙ ∙+λnx2n
=
kxk2Ax21+∙ ∙ ∙+x2n

en notantλ1     λnles valeurs propres deAB. Il est clair que cette quantité est
comprise entreλmin(AB)etλmax(AB). De plus ces deux valeurs propres sont

valeurs prise par
hABx|xiA
2
kxkA
enxvecteur propre associé. EnfinE\ {0}est connexe par arcs et l’image d’un
connexe par arcs par une application continue est un connexe par arcs. On peut
donc conclure que les valeurs prises par

x h7→ hxBA1x||xixi

surE\ {0}constituent le segment

[λmin(AB) λmax(AB)]
d) On ahBx|xi6λmax(B)kxk2etA−1x|x>λmin(A−1)kxk2donc

λax(B
hhBA−x1x||xxii6λmnmi(A−1))
Orλmin(A−1) =λmax(1A)donc

hhAB−x1x||xixi6λmin(A)λax(B)
m

et la conclusion est dès lors facile.

3

Exercice 4 :[énoncé]
a)v?=vet(v(x)|x) =ku(x)k2>0et= 0⇔x= 0caru∈GL(E).
b) Il existe une base orthonorméeBdans laquelle la matrice devest de la forme
diag(λ1     λn)avecλi>0. L’endomorphismewdont la matrice dansBest
diag(√λ1    √λn)convient. Notons que cet endomorphisme est autoadjoint car
représenté par une matrice symétrique dans une base orthonormée.
On pose ensuiteρ=uw−1et on vérifie sans peineρ?ρ=Id doncρ∈ O(E).
c) Siu=ρwalorsw2=v. Nous allons établir l’unicité dew.vest diagonalisable
doncEest somme des sous-espaces propresEλ(v)avecλ>0. Commevetw
commutent, ces sous-espaces sont stables parw. Orwest diagonalisable donc
l’endomorphisme induit parwsurEλ(v)aussi et puisque les valeurs propres dew
sont positives, il est nécessaire que l’endomorphisme induit parwsurEλ(v)soit
√λId. Ceci déterminewde manière unique et puisqueρ=uw−1,raussi est
unique.
d)∀A∈GLn(R)∃!(O S)∈ On(R)× Sn++(R) A=OS(décomposition de
Cartan).

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Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
Pourx= 0, il y a égalité.
Pourx6= 0et pourλ∈R,ux+λu−1(x)|x+λu−1(x)>0donc
λ2x u−1(x)+ 2λhx|xi+hu(x) xi>0avecx u−1(x)6= 0caru−1∈ S++(E).
Par suiteΔ = 4kxk4−4hu(x) xiu−1(x) x60puis l’inégalité proposée.
De plus, il y a égalité si, et seulement si, il existeλ∈Rvérifiantx+λu−1(x) = 0
i.e. si, et seulement si,xest vecteur propre deu.

Exercice 6 :[énoncé]
Rappelons les propriétés classiques suivantes utiles pour la suite :

(keru)⊥=Imu?, rg(u?u) =rgu?=rgu, etu?u∈ S+(E)

(i)⇒(ii) Supposonsuu?u=u. On a alors

? ?
uu?(uu?) = (uu?u)u=uu

doncuu?est un projecteur.
De plus(uu?)?=u??u?=uu?donc le projecteuruu?est orthogonal.
(ii)⇒(iii) Supposonsuu?projecteur orthogonal. On auu?uu?=uu?donc
u(u?uu?u) =u(u?u)puis

˜
u◦(u?uu?u−u?u) = 0

Par suite, l’endomorphismeu?uu?u−u?uprend ses valeurs danskeru. Or il
prend aussi ses valeurs dans Imu?= (keru)⊥, c’est donc l’endomorphisme nul.
(iii)⇒(iv) Supposonsu?uprojecteur orthogonal.
Puisque Imu?u⊂Imu?et puisque rg(u?u) =rgu?, on a
Im(u?u) =Imu?= (keru)⊥.

Ainsiu?uest la projection orthogonale sur(keru).
Soitx∈(keru)⊥.

ku(x)k2= (u(x)|u(x)) = (u?u(x)|x) = (x|x) =kxk2

Inversement, supposonsku(x)k2=kxk2
Par les calculs qui précédent, on obtient(x−u?u(x)|x) = 0.
On peut écrirex=a+baveca=u?u(x)∈(keru)⊥etb∈keru.
(x−u?u(x)|x) = 0donne(b|a+b) = 0puis(b|b) = 0et doncb= 0.
Ainsix=a+b=a∈(keru)⊥.
(iv)⇒(i) Supposons

(keru)⊥={x∈Eku(x)k=kxk}

4

Puisquekeruest stable paru?u,(keru)⊥est stable par(u?u)?=u?u.
L’endomorphisme induit paru?usur(keru)⊥est un endomorphisme autoadjoint
positif.
Siλest valeur propre deu?ualors il existex6= 0Evérifiantu?u(x) =λxet alors
λkxk2= (u?u(x)|x) =ku(x)k2k k2
=x
doncλ= 1.
L’endomorphismeu?uest diagonalisable sur le sous-espace vectoriel stable
(keru)⊥sa seule valeur propre possible est 1, c’est donc l’identité sur cet espace.et
Puisque l’endomorphismeu?uest nul surkeruet égal à l’identité sur(keru)⊥, on
peut affirmer que les endomorphismesuu?u=u(u?u)etusont égaux car ils
coïncident sur les deux espaces supplémentaireskeruet(keru)⊥.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Siλmin= minSpuetλmax= maxSpu, on montre en introduisant une base
orthonormée diagonalisantuque
∀x∈E λminkxk26(u(x)|x)6λmaxkxk2
Pour qu’il existe un vecteur unitaire appartenant àHuil est nécessaire que
1∈[λmin λmax].
Inversement, supposons1∈[λmin λmax].
Siλmin=λmaxalors la réciproque est immédiate.
Supposons désormaisλmin< λmax. On introduiteminvecteur propre unitaire
associé àλminetemaxvecteur propre unitaire associé àλmax. Considérons enfin

eθ= cos(θ)emin+ sin(θ)emax

Puisqueeminetemaxsont unitaires et orthogonaux, on vérifiekeθk= 1.
Considérons ensuitef(θ) = (u(eθ)|eθ). La fonctionfest continue,f(0) =λminet
f(π2) =λmaxdont, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, il existe
θ∈[0 π2]vérifianteθ∈Hu.
b) Considérons le produit scalaire défini par

hx yi= (v(x)|y)

On observe
(v(x)|x) =hx xiet(u(x)|x) =v−1◦u(x) x
L’endomorphismev−1◦uest autoadjoint pour le produit scalaireh iet l’étude
du a) adaptée au contexte en cours, assure qu’il existex∈Evérifiant
hx xi= 1etv−1◦u(x)|x= 1

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si, et seulement si,1est compris entre
1∈minSp(v−1◦u)maxSp(v−1◦u)

Exercice 8 :[énoncé]
a) SoitBune base orthonormée diagonalisantv
MatB(v) =(λ01)...(λ0n)

L’endomorphismesdéterminé par
MatB(s) =

avecλk>0

√λ1
(0)

.
.
.

(0)
√λn

Corrections

vérifies2=vet puisque sa matrice dans une base orthonormée est symétrique,
c’est endomorphisme est autoadjoint. Enfin Sps⊂R+?doncsest défini positif.
b) On a
v−1◦u=s−1−1◦u s−1◦(s−1◦u◦s−1)◦s
◦s=
L’endomorphismew=s−1◦u◦s−1est autoadjoint donc diagonalisable puis
l’endomorphisme semblables−1◦w◦sest aussi diagonalisable.

Exercice 9 :[énoncé]
a) Pour toutx y∈E,

n
(f(x)|y) =X(ek|x)(ek|y) = (x|f(y))
k=1

et
n
(f(x)|x) =X(ek|x)2>0
k=1
De plus, si(f(x)|x) = 0alors

∀16k6n(ek|x) = 0

et doncx∈Vect(e1     en)⊥={0}.

5

b) Puisque l’endomorphismefest symétrique et définie positif, il existe une base
orthonormée(ε1     εn)deEdans laquelle la matrice defest de la forme
(λ01)...(λ0n)avecλi>0
L’endomorphismegreprésenté dans cette base par la matrice ci-dessous est alors
solution
1√λ1(0)
.
.
0).1√λn
(
c) Puisque l’endomorphismegest autoadjoint
(g(ei)|g(ej)) = (ei|g2(ej)) = (ei|f−1(ej)) = (ei|uj)

Orf(uj) =ejdonne
n
X(ek|uj)ek=ej
k=1
et puisque la famille(e1     en)est libre, on peut affirmer
∀16k6n(ek|uj) =δjk

On en déduit
(g(ei)|g(ej)) = (ei|uj) =δij
et par un argument de dimension, la famille(g(e1)     g(en))est évidemment une
base.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Existence :
L’endomorphismeuest symétrique donc diagonalisable en base orthonormée. Soit
Bune telle base et
D=MatB(u) =(λ01)...(λ0n)
Considérons alorsvl’endomorphisme deEdéterminé par
√pλ)1..√p(0λ)n
MatB(v) =(0.

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Corrections

L’endomorphismevest symétrique car représenté par une matrice symétrique en
base orthonormée.
L’endomorphismevvérifie par constructionvp=u: il est solution.
Unicité :
Soitvun endomorphisme symétrique solution. L’endomorphismevcommute avec
u, les sous-espaces propres deusont donc stables parv. SoitEλ(u)un tel
sous-espace propre. L’endomorphisme induit parvsur ce sous-espace propre est
diagonalisable, considérons une baseBλde diagonalisation. La matrice de
l’endomorphisme induit parvdans cette baseBλest diagonale et sa puissancep
-ième est égale àλId carvp=u. On en déduit que l’endomorphisme induit parv
sur l’espaceEλ(u)n’est autre quep√λId. Ceci détermine entièrementvsur chaque
sous-espace propre deu. Or ces derniers forment une décomposition en somme
directe deE, l’endomorphismevest donc entièrement déterminé.
b) Sipest pair et queupossède une valeur propre négative, l’endomorphismev
n’existe pas.
c) Sipest pair etupositif alors on peut à nouveau établir l’existence mais
l’unicité n’est plus vraie car on changer les signes des valeurs propres devtout en
conservant la propriétévp=u
.
d) On retrouve existence et unicité en adaptant la démonstration qui précède.

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