Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Positivité

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Positivité Exercice 6 [ 01340 ] [correction] n 2Soit A∈S (R). Si (X,Y )∈ (R ) , on posen Exercice 1 [ 00005 ] [correction] t0 XnPour x = (x ,...,x )∈R , on pose Φ(X,Y ) =− det1 n Y A 2 2 2 2q(x) =x +··· +x − (x +··· +x ) n1 p p+1 p+q a) Démontrer que Φ est une forme bilinéaire symétrique surR . nb) A quelle condition sur A, l’application Φ est-elle un produit scalaire surR ? avec p +q6n. Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que q soit définie positive. F Montrer que dimF 6p. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02765 ] [correction] Soient E unR-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E de forme polaire B, Exercice 2 Centrale MP [ 00006 ] [correction] C ={x∈E,q(x) = 0} et N ={x∈E,∀y∈E,B(x,y) = 0}q q Montrer que si q est une forme quadratique réelle est définie, celle-ci est positive Montrer que C =N si, et seulement si, q est positive ou négative.q qou négative. Exercice 8 Centrale MP [ 03062 ] [correction] Exercice 3 [ 00007 ] [correction] Soient a ,...a > 0 et deux à deux distincts.1 n Montrer qu’une forme quadratique positive est une fonction convexe. nPour (x ,...,x )∈R , on pose1 n nX x xi j q(x) = a +aExercice 4 Mines-Ponts MP [ 02764 ] [correction] i j i,j=1 Condition sur α pour que la forme quadratique Q définie par :α Montrer que q est une forme quadratique définie positive. !2n nX X n 2 ∀(x ,...,x )∈R , Q (x ,...,x ) = x −α x1 n α 1 n ii i=1 i=1 soit définie positive?

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Positivité

Exercice 1[ 00005 ][correction]
Pourx= (x1     xn)∈Rn, on pose

q(x) =x12+∙ ∙ ∙+xp2−(x2p+1+∙ ∙ ∙+x2p+q)

avecp+q6n.
SoitFun sous-espace vectoriel deEtel queqFsoit définie positive.
Montrer quedimF6p.

Enoncés

Exercice 2Centrale MP[ 00006 ][correction]
Montrer que siqest une forme quadratique réelle est définie, celle-ci est positive
ou négative.

Exercice 3[ 00007 ][correction]
Montrer qu’une forme quadratique positive est une fonction convexe.

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02764 ][correction]
Condition surαpour que la forme quadratiqueQαdéfinie par :
∀(x1     xn)∈Rn,Qα(x1     xn) =Xxi2−α
ni=nX1xi!2
i=1

soit définie positive ?

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02763 ][correction]
On pose, pourX∈Rn,
q(X) = detX0tAX

oùAest une matrice symétrique réelle définie positive d’ordren. Montrer queq
est une forme quadratique définie négative (indice : commencer par le cas oùAest
diagonale).

Exercice 6[ 01340 ][correction]
SoitA∈ Sn(R). Si(X Y)∈(Rn)2, on pose
Φ(X Y) =−det0
Y

tAX

a) Démontrer queΦest une forme bilinéaire symétrique surRn.
b) A quelle condition surA, l’applicationΦest-elle un produit scalaire surRn?

1

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02765 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel etqune forme quadratique surEde forme polaire
B,
Cq={x∈E q(x) = 0}etNq={x∈E∀y∈E B(x y) = 0}
Montrer queCq=Nqsi, et seulement si,qest positive ou négative.

Exercice 8Centrale MP[ 03062 ][correction]
Soienta1    an>0et deux à deux distincts.
Pour(x1     xn)∈Rn, on pose

n
q(x) =Xxi+xjaj
ij=1ai

Montrer queqest une forme quadratique définie positive.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitx∈F∩Vect(ep+1     en).
On aq(x)>0carx∈Fetq(x)60carx∈Vect(ep+1     en).
On en déduitq(x) = 0puisx= 0EcarqFest définie positive.
Par suiteFet Vect(ep+1     en)sont en somme directe et donc nécessairement
dimF6p.

Exercice 2 :[énoncé]
Soienta b∈E. L’application

t7→q((1−t)a+tb)) = (1−t)2q(a) + 2t(1−t)ϕ(a b) +t2q(b)

est continue et prend la valeurq(a)ent= 0etq(b)ent= 1.
Siq(a)q(b)<0alors cette application s’annule et donc puisque l’on supposeq
définie, il existet∈]01[tel que(1−t)a+tb= 0. Mais alors(1−t)a=−tbdonne
(1−t)2q(a) =t2q(b)et doncq(a)q(b)>0.
Il y a contradiction et donc pour touta b∈E,q(a)q(b)>0c’est-à-direq(a)et
q(b)sont de mme signe.
On peut alors conclure queqest définie positive ou définie négative.

Exercice 3 :[énoncé]
Soitqune forme quadratique positive sur unR-espace vectorielEde forme
polaireϕ.
Soienta b∈Eetλ∈[01]. En développant

q((1−λ)a+λb) = (1−λ)2q(a) + 2(1−λ)λϕ(a b) +λ2q(b)

Or par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
ϕ(a b)6pq(a)q(b)612(q(a) +q(b))

donc

puis

q((1−λ)a+λb)6(1−λ)2q(a) + (1−λ)λ(q(a) +q(b)) +λ2q(b)

q((1−λ)a+λb)6(1−λ)q(a) +λq(b)

Exercice 4 :[énoncé]
La matrice deQαdans la base canonique deRnest
1−α(−α)
(−α)...1−α

Sin= 1, seul1−αest valeur propre et une condition nécessaire et suffisante est
queα <1.
Sin>2alors les valeurs propres sont1−nαet1. Une condition nécessaire et
suffisante pour queQαsoit définie positive estα <1n.

Exercice 5 :[énoncé]
CasA=diag(λ1     λn)avecλi>0.
En développant le déterminant selon la première colonne :
q(x1     xn) =−λ1   λnλx112+∙ ∙ ∙+λxn2n

2

qest évidemment une forme quadratique définie négative.
Cas général : on peut écrireA=tP DPavecP∈ On(R)etD=diag(λ1     λn),
λi>0.
On observe
01P0 X0tAX 01t0P=P0Xt(PXD)

et donc
q(X) = detP0XtDPX
cardetP= 1. Cela permet de conclure.

Exercice 6 :[énoncé]
a) L’applicationΦest bien définie deRn×RnversR.
Par linéarité du déterminant en la première colonne, on obtient

Φ(X λ1Y1+λ2Y2) =λ1Φ(X Y1) +λ2Φ(X Y2)

De plus, le déterminant d’une matrice étant celui de sa transposée
X Y) =−det0XttAY=−detX0tYA= Φ(Y X)
Φ(

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Corrections

AinsiΦest une forme bilinéaire symétrique surRn.
b) En vertu du théorème spectral, la matriceAest orthogonalement semblable à
une matrice diagonale
A=tP DPavecP∈ On(R)etD=diag(α β γ)

On observe alors
0XtAX=10t0P Y0tYD 10P0

avecY=P X

On a ainsiΦ(X X) = Ψ(Y Y)avec
Ψ(Y Y) =−detY0tDY=βγy21+αγy22+αβy32

On en déduit que la forme bilinéaire symétriqueΦest définie positive si, et
seulement si,
αβ βγ αγ >0
ce qui signifie que les réelsα β γsont de mme signe strict.

Exercice 7 :[énoncé]
Notons que l’inclusionNq⊂Cqest toujours vraie (il suffit de prendrey=x).
Casqpositive :
Soitx∈Cq. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pour touty∈E,

|B(x y)|6q(x)q(y) = 0

doncB(x y) = 0. Ainsix∈Nqet doncCq⊂Nqpuis l’égalité.
Casqnégative :
Il suffit d’étudier−q.
Inversement, montrons que siqn’est ni négative, ni positive alorsCq6=Nq.
Supposons qu’il existex y∈Etel queq(x)>0etq(y)<0.
Par continuité de la fonctiont7→q(tx+ (1−t)y), on peut affirmer qu’il existe
t∈]01[tel que
z=tx+ (1−t)y∈Cq
Si par l’absurdez∈Nqalors
B(z x) =B(z y) = 0

Or par développement

B(z x) =tq(x) + (1−t)B(x y)etB(z y) =tB(x y) + (1−t)q(y)

Ceci entraîne une incompatibilité de signe surB(x y).
On peut donc affirmer quez∈ Nqet doncCq6=Nq.

3

Exercice 8 :[énoncé]
NotonsEl’espace des fonctions continues de]01]dansRet de carrés intégrables.
On définit un produit scalaireφsurEpar
φ(f g) =Z]01]f(t)g(t) dt

Pouri∈ {1     n}, posonsfi:t7→tai−12élément deE.
Pourx= (x1     xn)ety= (y1     yn)éléments deRn, posons
b(x y) =φi=nX1xifii=Xn1yifi!
L’applicationbévidemment une forme bilinéaire symétrique surest Rnet pour
celle-ci
n n
b(x x) =Z]01]ij=1ij=1
Xxixjtai+aj−1dt=Xaixi+xjaj=q(x)
Ainsiqest une forme quadratique.
De plus, puisque la forme bilinéaire symétriqueφest positive, il en de mme deb
et donc la forme quadratiqueqest positive.
n
Enfin, siq(x) = 0alorsPxifi= 0.
i=1
n
AinsiPxitai−12= 0pour toutt∈]01].
i=1
En multipliant part12, on obtient