Sujet : Algèbre, Arithmétique dans Z, Calcul en congruence

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul en congruence Exercice 1 [ 01190 ] [correction] 123 121Montrer que 11|2 +3 . Exercice 2 [ 01191 ] [correction] 4321 1234Quel est le reste de la division euclidienne de 1234 +4321 par 7?

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Calcul en congruence

Exercice 1[ 01190 ][correction]
Montrer que11|2123+ 3121.

Exercice 2[ 01191 ][correction]
Quel est le reste de la division euclidienne de12344321+ 43211234par 7 ?

Exercice 3[ 01192 ][correction]
Montrer que pour toutn∈N:

a)6|5n3+nb)7|32n+1+ 2n+2
d)11|38n×54+ 56n×73e)9|4n−1−3n

c)5|22n+1+ 32n+1
f)152|16n−1−15n

Exercice 4[ 01193 ][correction]
Trouver les entiersn∈Ztel que10|n2+ (n+ 1)2+ (n+ 3)2.

Exercice 5[ 01194 ][correction]
Montrer
7|xet7|y⇔7|x2+y2

Exercice 6[ 03679 ][correction]
Montrer que sinest entier impair alors

n2≡1

[8]

Exercice 7[ 03680 ][correction]
Soientλ a b∈Zetm∈N?. On supposeλetmpremiers entre eux. Montrer
a≡b[m]⇔λa≡λb[m]

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
25=−1 [11]donc210= 1 [11]puis
2123= 2120×23= (210)12×8 = 1×8 = 8 [11].
35 [11]= 1donc3121= 3120×3 = (35)24×3 = 1×3 = 3
Ainsi2123+ 3121 [11]= 8 + 3 = 0et donc11|2123+ 3121.

[11].

Exercice 2 :[énoncé]
1234 = 2 [7]et23 [7]= 1donc12344321= 24321= 24320×2 = 1×2 = 2
4321 = 2 [7]donc43211234= 21234= 21233×2 = 1× [7]2 = 2.
Par suite12344321+ 43211234= 2 + 2 = 4 [7]. Le reste cherché est 4.

Corrections

[7].

Exercice 3 :[énoncé]
a) Pourn= 012345on an3=n[6]donc5n3+n= 6n= 0 [6].
b)32n+1+ 2n+2= 3(32)n+ 42n= 32n+ 42n= 72n [7]= 0.
c)22n+1+ 32n+1= 2(22)n+ 3(32)n= 24n+ 34n= 54n= 0 [5].
d)38n×54+ 56n×73= 5n×9 + 5n×2 = 11×5n [11]= 0.
e)4n−1−3n= (4−1)(1 + 4 +∙ ∙ ∙+ 4n−1)−3n= 3(1 + 4 +∙ ∙ ∙+ 4n−1−n)
or1 + 4 +∙ ∙ ∙+ 4n−1−n= 1 +∙ ∙ ∙+ 1−n=n−n= 0 [3]donc9|4n−1−3n.
f)
−1
16n−1−15n= (16−1)(1 + 16 +∙ ∙ ∙+ 16n−1)−15n + 16 += 15(1∙ ∙ ∙+ 16n−n)
or1 + 16 +∙ ∙ ∙+ 16n−1−n= 1 +∙ ∙ ∙+ 1−n=n−n= 0 [15]donc
152|16n−1−15n.

Exercice 4 :[énoncé]
n0 1 2 3 4 5 6 7 8
n2+ (n+ 1)2+ (n+ 3)20 1 8 1 0 5 6 3 6
donc10|n2+ (n+ 1)2+ (n+ 3)2⇔n= 0ou4 [10].

9
5

Exercice 5 :[énoncé]
(⇒)ok
(⇐)On observe que :xx242011243412560modulo 7.
La seule possibilité pour quex2+y2 [7]= 0est quex=y= 0 [7].

Exercice 6 :[énoncé]
On peut écriren= 2p+ 1et alors

n2= (2p+ 1)2= 4p(p+ 1) + 1

2

Puisque l’un des facteurs dep(p+ 1)est pair, le produit4p(p+ 1)est multiple de
8 et donc
4p(p+ 1) + 1≡1 [8]

Exercice 7 :[énoncé]
(⇒) Sia≡b[m]alorsmdiviseb−aet divise a fortioriλb−λa=λ(b−a).
(⇐)Siλa≡λb[m]alorsmdiviseλ(b−a). Ormetλsont supposés premiers
entre eux doncmdiviseb−a.

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