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Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Dénombrement

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Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Dénombrement

Exercice 1Centrale MP[ 02357 ][correction]
SoitEun ensemble de cardinaln,Rune relation d’équivalence surEayantk
classes d’équivalence etG=(x y)∈E2xRyle graphe deRsupposé de
cardinalp. Prouver qu’on an26kp.

Exercice 2Centrale MP[ 02362 ][correction]
SoitEun ensemble fini de cardinaln. Calculer :
XCardX,XCard(X∩Y)et
X⊂E XY⊂E

X

Card(X∪Y)
XY⊂E

Enoncés

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Notonsn1     nkles cardinaux respectifs deskclasses d’équivalence deR. D’une
partn=n1+∙ ∙ ∙+nk, d’autre partp=n12+∙ ∙ ∙+nk2. Par l’inégalité de
Cauchy-Schwarz :(n1+∙ ∙ ∙+nk)26k(n21+∙ ∙ ∙+n2k).

Exercice 2 :[énoncé]
n
Pourk∈ {0     n}, il y ak!partiesXà unkéléments dansE. Par suite
n
X⊂E k=0kn!=n2n
PCard(X)=Pk−1.
Pourk∈ {0     n}, il y a !partiesZàkéléments dansE.
n
k
Pour une telle partieZ, les partiesXcontenantZont`∈ {k     n}éléments.
Il y a`n−−kk!partiesXà`éléments contenantZ.
Pour une telle partieX, une partieYtelle queX∩Y=Zest une partieY
déterminée parZ⊂Y⊂Z∪CEX.
Il y a2n−`partiesYpossibles.
Ainsi, il y a`=Pknn`−−kk!2n−`= (1 + 2)n−k= 3n−kcouples(X Y)tels que
X∩Y=Z.
n n
PCard(X∩Y) =P P PCard(X∩Y) =Pknk!3n−k.
XY⊂E k=0CardZ=k X∩Y=Z k=0
Or((3 +x)n)0=n(3 +x)n−1=k=Pn0kkn!3n−kxk−1donc
PCard(X∩Y) =n4n−1.
XY⊂E
Enfin Card(X∪Y) =CardX+CardY−Card(X∩Y)donne
PCard(X∪Y) = 2nn2n−1+ 2nn2n−1−n4n−1= 3n4n−1
.
XY⊂E

2

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