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Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Idéaux

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Idéaux Exercice 6 [ 00138 ] [correction] 2Soient A un anneau commutatif et e un élément idempotent de A (i.e. e =e). a) Montrer que J ={x∈A/xe = 0} est un idéal de A.Exercice 1 [ 00134 ] [correction] b) On note I =Ae l’idéal principal engendré par e. Déterminer I +J et I∩J.Quels sont les idéaux d’un corpsK? c) Etablir que pour tout idéal K de A : (K∩I)+(K∩J) =K Exercice 2 [ 00135 ] [correction] On note n op Exercice 7 [ 00140 ] [correction]D = /p∈Z,n∈N n10 [Idéaux premiers] l’ensemble des nombres décimaux. Un idéal I d’un anneau commutatif (A,+,×) est dit premier si, et seulement si, a) Montrer queD est un sous-anneau de (Q,+,×). ∀x,y∈A,xy∈I⇒x∈I ou y∈Ib) Montrer que les idéaux deD sont principaux (c’est-à-dire de la forme aD avec a∈D). a) Donner un exemple d’idéal premier dans Z. b) Soit P∈K[X] un polynôme irréductible. Montrer que P.K[X] est premier. c) Soient J et K deux idéaux de A. Montrer Exercice 3 [ 03635 ] [correction] 2 J∩K =I⇒ (J =I ou K =I)Soit I un idéal de l’anneau produit (Z ,+,×). a) On pose I ={x∈Z/(x,0)∈I} et I ={y∈Z/(0,y)∈I}.1 2 d) Soit (A,+,×) un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Etablir que Montrer que I et I sont des idéaux de (Z,+,×).1 2 A est intègre puis que A est un corps. b) Etablir I =I ×I .1 2 2c) Conclure que les idéaux de l’anneau (Z ,+,×) sont tous principaux.

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Exrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Idéaux

Exercice 1[ 00134 ][correction]
Quels sont les idéaux d’un corpsK?

Enoncés

Exercice 2[ 00135 ][correction]
On note
D=n10pnp∈Z n∈No
l’ensemble des nombres décimaux.
a) Montrer queDest un sous-anneau de(Q+×).
b) Montrer que les idéaux deDsont principaux (c’est-à-dire de la formeaDavec
a∈D).

Exercice 3[ 03635 ][correction]
SoitIun idéal de l’anneau produit(Z2+×).
a) On poseI1={x∈Z(x0)∈I}etI2={y∈Z(0 y)∈I}.
Montrer queI1etI2sont des idéaux de(Z+×).
b) EtablirI=I1×I2.
c) Conclure que les idéaux de l’anneau(Z2+×)sont tous principaux.

Exercice 4[ 00136 ][correction]
[Nilradical d’un anneau]
On appelle nilradical d’un anneau commutatif(A+×)l’ensembleNformé des
éléments nilpotents deAi.e. desx∈Atels qu’il existen∈N?vérifiantxn= 0.
Montrer queNest un idéal deA.

Exercice 5[ 00137 ][correction]
[Radical d’un idéal]
SoitIun idéal d’un anneau commutatifA. On noteR(I)l’ensemble des éléments
xdeApour lesquels il existe un entiernnon nul tel quexn∈I.
a) Montrer queR(I)est un idéal deAcontenantI.
b) Montrer que siIetJsont deux idéaux alors

R(I∩J) =R(I)∩R(J)etR(I+J)⊃R(I) +R(J)

c) On suppose queA=Z. Montrer que l’ensemble des entiersnnon nuls tels que
R(nZ) =nZest exactement l’ensemble des entiers sans facteurs carrés.

Exercice 6[ 00138 ][correction]
SoientAun anneau commutatif eteun élément idempotent deA(i.e.e2=e).
a) Montrer queJ={x∈Axe= 0}est un idéal deA.
b) On noteI=Ael’idéal principal engendré pare. DéterminerI+JetI∩J.
c) Etablir que pour tout idéalKdeA:

(K∩I) + (K∩J) =K

Exercice 7[ 00140 ][correction]
[Idéaux premiers]
Un idéalId’un anneau commutatif(A+×)est dit premier si, et seulement si,

∀x y∈A xy∈I⇒x∈Iouy∈I

a) Donner un exemple d’idéal premier dansZ.
b) SoitP∈K[X]un polynôme irréductible. Montrer quePK[X]est premier.
c) SoientJetKdeux idéaux deA. Montrer

J∩K=I⇒(J=IouK=I)

d) Soit(A+×)un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Etablir que
Aest intègre puis queAest un corps.

1

Exercice 8[ 00141 ][correction]
[Zest noethérien]
Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux deZest stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux deK[X]?.

Exercice 9Centrale MP[ 02367 ][correction]
SoitAun sous-anneau deQ.
a) Soitpun entier etqun entier strictement positif premier avecp. Montrer que
sipq∈Aalors1q∈A.
b) SoitIun idéal deAautre que{0}. Montrer qu’il existen∈N?tel que
I∩Z=nZet qu’alorsI=nA.
c) Soitpun nombre premier. On pose

Zp={ab;a∈Z b∈N? p∧b= 1}
Montrer que six∈Q?alorsxou1xappartient àZp.
d) On suppose ici quexou1xappartient àApour toutx∈Q?. On noteI
l’ensemble des éléments non inversibles deA.
Montrer queIinclut tous les idéaux stricts deA. En déduire queA=Qou
A=Zppour un certain nombre premierp.

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Enoncés

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02661 ][correction]
Soitpun nombre premier. On noteZpl’ensemble desaboù(a b)∈Z×N?etp
ne divise pasb. On noteJpl’ensemble desaboù(a b)∈Z×N?,pdiviseaetp
ne divise pasb.
a) Montrer queZpest un sous-anneau deQ.
b) Montrer queJpest un idéal deZpet que tout idéal deZpautre queZpest
inclus dansJp.
c) Déterminer les idéaux deZp.

Exercice 11[ 02450 ][correction]
SoitAun sous-anneau d’un corpsK.
On suppose :
∀x∈K\ {0} x∈Aoux−1∈A

et on formeIl’ensemble des éléments de l’anneauAnon inversibles.
a) Montrer queIest un idéal deA.
b) Montrer que tout idéal deAautre queAest inclus dansI.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SoitIun idéal d’un corpsK. SiI6={0}alorsIcontient un élémentxnon nul.
Puisquex∈Ietx−1∈Kon a1 =xx−1∈Ipuis pour touty∈K,y= 1×y∈I
et finalementI=K. Les idéaux deKsont donc{0}etK.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Il suffit de vérifier les axiomes définissant un sous-anneau. . .
b) SoitIun idéal deD. L’intersectionI∩Zest un sous-groupe de(Z+)donc il
existea∈Zvérifiant
I∩Z=aZ

Puisquea∈I, on aaD⊂I.
Inversement, soitx∈I. On peut écrire
x01=pnavecp∈Zetn∈N
On a alors10nx∈Ipar absorption doncp∈I∩Z. On en déduita|ppuisx∈aD.
FinalementI=aD

Exercice 3 :[énoncé]
a)I1⊂Zet0∈I1car(00) = 0Z2∈I.
Soientx x0∈I1. On a(x+x00) = (x0) + (x00)∈Idoncx+x0∈I1.
Soit de plusa∈Z. On a(ax0) = (a1234)×(x0)∈Idoncax∈I1.
AinsiI1est un idéal de(Z+×)et de façon analogueI2aussi.
b) Soit(x y)∈I1×I2. On a(x0)∈Iet(0 y)∈Idonc(x y) = (x0) + (0 y)∈I.
AinsiI1×I2⊂I.
Inversement soit(x y)∈I.
On a(x0) = (x y)×(10)∈Idoncx∈I1. De mmey∈I2et donc
(x y)∈I1×I2.
FinalementI⊂I1×I2puisI=I1×I2.
c) Les idéaux de(Z+×)sont principaux donc il existea b∈Ztels queI1=aZ
etI2=bZ. L’idéalIapparaît alors comme étant celui engendré par(a b)et il est
donc principal.

Exercice 4 :[énoncé]
N⊂A,0∈NdoncN6=∅. Pourx y∈N, il existen m∈N?tel que
xn=ym= 0.

Par la formule du binôme,
(x+y)n+m−1=n+k=mX0−1n+km−1!xkyn+m−1−k

Pourk>n,xk= 0et pourk6n−1,yn+m−1−k= 0. Dans les deux cas
xkyn+m−1−k= 0et donc(x+y)n+m−1= 0. Par suitex+y∈N.
Enfin poura∈Aetx∈N,ax∈Ncar(ax)n=anxn.

3

Exercice 5 :[énoncé]
a) Par définitionR(I)⊂A
01= 0∈Idonc0∈R(I).
Soientx y∈R(I), il existen m∈N?tels quexn ym∈I.
On a alors
n−1
(x+y)n+m=X=0n+km−1!xkyn+m−1−k+n+k=Xnm−1n+km−1!xkyn+m−1−k∈I
−1
k

car les premiers termes de la somme sont dansIpuisqueyn+m−1−k∈Iet les
suivants le sont aussi carxk∈I
doncx+y∈R(I).
Soit de plusa∈A. On a(ax)n=anxn∈Idoncax∈R(I).
AinsiR(I)est un idéal deA.
Soitx∈I, on ax1∈Idoncx∈R(I).
b) Six∈R(I∩J)alors il existen∈N?tel quexn∈I∩J.
On a alorsxn∈Idoncx∈R(I)et de mmex∈R(J). Ainsi

R(I∩J)⊂R(I)∩R(J)

Soitx∈R(I)∩R(J). Il existen m∈N?tel quexn∈Ietxm∈J.
PourN= max(m n), on a par absorptionxN∈IetxN∈JdoncxN∈I∩J.
Ainsix∈R(I∩J)et on peut affirmer

R(I∩J)⊃R(I)∩R(J)

puis l’égalité.
PuisqueI⊂I+J, on a clairementR(I)⊂R(I+J). De mmeR(J)⊂R(I+J).
EnfinR(I+J)étant stable par sommeR(I) +R(J)⊂R(I+J).
c) Sina un facteur carréd2avecd>2.
Posonsk∈Ztel quen=d2k.
On adk ∈nZet(dk)2=nk∈nZdoncdk∈R(nZ). AinsiR(nZ)6=nZ.

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Corrections

Sinn’a pas de facteurs carrés alorsns’écritn=p1p2   pmavecp1     pm
nombres premiers deux à deux distincts.
Pour toutx∈R(nZ), il existek∈N?tel quexk∈nZ.
Tous lesp1     pmsont alors facteurs premiers dexkdonc dexet par conséquent
ndivisex.
FinalementR(nZ)⊂nZpuisR(nZ) =nZcar l’autre inclusion est toujours vraie.

Exercice 6 :[énoncé]
a) sans difficultés.
b) Pour toutx∈A,x=xe+x(1−e)avecxe∈Ietx−xe∈J. Par suite
I+J=A.
Sixe∈Jalorsxe=xe2= 0doncI∩J={0}.
c) L’inclusion(K∩I) + (K∩J)⊂Kest immédiate. L’inclusion réciproque
provient de l’écriturex=xe+x(1−e).

Exercice 7 :[énoncé]
a) Pourp∈ P,pZest un idéal premier. En effet on sait quepZest un idéal et en
vertu du lemme d’Euclide :xy∈pZ⇒x∈pZouy∈pZ.
b) Mme principe
c) SupposonsJ∩K=I.
SiJ=Iok.
Sinon il existea∈Jtel quea ∈I. Pour toutb∈K,ab∈J∩Kd’oùab∈Ipuis
b∈Icara ∈I. AinsiK⊂I. D’autre partI=J∩K⊂KdoncI=K.
d)I={0}est un idéal premier doncxy= 0⇒x= 0ouy= 0.
Soitx∈Atel quex6= 0.x2Aest premier etx2∈x2Adoncx∈x2A.
Ainsi il existey∈Atel quex=x2yet puisquex6= 0,xy= 1.
AinsiAest un corps.

Exercice 8 :[énoncé]
Une suite croissante(In)d’idéaux deZse détermine par une suite d’entiers
naturels(an)vérifiantIn=anZetan+1|an. Si pour toutn∈N,In={0}alors
la suite(In)est stationnaire.
Sinon à partir d’un certain rangIn6={0}et la relationan+1|anentraîne
an+16an. La suite d’entiers naturels(an)est décroissante et donc stationnaire. Il
en est de mme pour(In).
Ce résultat se généralise àK[X]en travaillant avec une suite de polynômes
unitaires(Pn)vérifiantPn+1|Pnce qui permet d’affirmer en cas de non nullité
degPn+16degPnpuis(degPn)stationnaire, puis encore(Pn)stationnaire et
enfin(In)stationnaire.

4

Exercice 9 :[énoncé]
Notons qu’un sous-anneau deQpossédant 1 contient nécessairementZ.
a) Par égalité de Bézout, on peut écrirepu+qv= 1avecu v∈Z. Siqp∈Aalors

1=u p+v1∈A
q q

b)I∩Zest un sous-groupe de(Z+)donc il est de la formenZavecn∈N.
PuisqueI6={0}, il existepq∈Inon nul et par absorption,p=qpq∈I∩Z
?
avecp6= 0. Par suiteI∩Z6={0}et doncn∈N.
Puisquen∈I, on peut affirmer par absorption quenA⊂I.
Inversement, pourpq∈Iavecp∧q= 1on a1q∈Aetp∈nZdoncpq∈nA.
AinsiI=nA.
c) On peut vérifier queZpest un sous-anneau deQ.
Pourx=ab∈Q?aveca∧b= 1. Sip6 |balorsp∧b= 1etx∈Zp. Sinonp|bet
doncp6 |ad’où l’on tire1x∈Zp.
d) SoitJun idéal strict deA.Jne contient pas d’éléments inversibles deAcar
sinon il devrait contenir 1 et donc tre égal àA.
AinsiJest inclus dansI. De plus, on peut montrer queIest un idéal deA.
En effetI⊂Aet0∈I.
Soienta∈Aetx∈I.
Casa= 0:ax= 0∈I.
Casa6= 0: Supposons(ax)−1∈Aalorsa−1x−1∈Aet donc
x−1=a(a−1x−1)∈Ace qui est exclu. Ainsi,(ax)−1∈Aet doncax∈I.
Soientx y∈I. Montrons quex+y∈I.
Casx= 0,y= 0oux+y= 0: c’est immédiat.
Casx6= 0,y6= 0etx+y6= 0: On a(x+y)−1(x+y) = 1donc

(x+y)−1(1 +x−1y) =x−1et(x+y)−1(1 +xy−1) =y−1(*)

Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux élémentsx−1you
xy−1= (x−1y)−1appartient àA.
Par opérations dansAà l’aide des relations (*), si(x+y)−1∈Aalorsx−1ouy−1
appartient àAce qui est exclu. Ainsi(x+y)−1∈Aet doncx+y∈I.
FinalementIest un idéal deA.
Par suite, il existen∈N, vérifiantI=nA.
Sin= 0alorsI={0}et alorsA=Qcar pour toutx∈Q?,xou1x∈Aet dans
les deux casx∈AcarI={0}.
Sin= 1alorsI=Ace qui est absurde car1∈Aest inversible.
Nécessairementn>2. Sin=qravec26q r6n−1alors puisque1n∈ A, au
moins l’un des éléments1qet1r∈ A. Quitte à échanger, on peut supposer
1q ∈A.qAest alors un idéal strict deAdoncqA⊂I. InversementI⊂qA
puisquenest multiple deq. Ainsi, sinn’est pas premier alors il existe un facteur

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Corrections

non trivialqdentel queI=nA=qA. Quitte à recommencer, on peut se
ramener à un nombre premierp.
Finalement, il existe un nombre premierpvérifiantI=pA.
Montrons qu’alorsA=Zp.
Soitx∈A. On peut écrirex=abaveca∧b= 1. On sait qu’alors1b∈Adonc
sip|balors1p∈Ace qui est absurde carp∈I. Ainsip6 |bet puisquepest
premier,p∧b= 1. AinsiA⊂Zp.
Soitx∈Zp,x=abavecb∧p= 1. Six∈ Aalorsx6= 0et1x=ba∈Apuis
ba∈I∈pAce qui entraîne, après étude arithmétique,p|bet est absurde.
AinsiZp⊂Apuis finalementZp=A.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Facile.
b)Jpidéal deZp: facile.
SoitIun idéal deZp. On supposeI6⊂Jp, il existe donc un élémentab∈I
vérifiantab∈ Jp. Par suitepne divise nia, nibet donc etba∈Zpde sorte que
abest inversible dansZpl’idéal contient un élément inversible, donc par. Ainsi
absorption il possède 1 et enfin il est égal àZp.
c) Pourk∈N, posonsJpkl’ensemble desaboù(a b)∈Z×N?,pk|aetpne
divise pasb. On vérifie aisément queJpkest un idéal deZp.
SoitIun idéal deZp. Posons
k= max`∀x∈I∃(a b)∈Z×N? x=ab p`|a pne divise pasb.
On a évidemmentI⊂Jpk.
Inversement, il existex=ab∈Iavecpk|a,pk+1ne divise pasaetpne divise
pasb.
On peut écrirea=pka0avecpqui ne divise pasa0, et donc on peut écrire
x=pkx0avecx0=a0binversible dansZp. Par suite tout élément deJpkpeut
s’écrirexyavecy∈Zpet donc appartient àI. AinsiJpk⊂Ipuis=.
Finalement les idéaux deZpsont lesJpkaveck∈N.

Exercice 11 :[énoncé]
a)I⊂Aet0∈I.
Soienta∈Aetx∈I
Sia= 0alorsax= 0∈I.
Poura6= 0, supposons(ax)−1∈A.
On a alorsa−1x−1∈Aet doncx−1=a(a−1x−1)∈Ace qui est exclu.
Nécessairement(ax)−1∈Aet doncax∈I.
Soientx y∈I. Montrons quex+y∈I.
Six= 0,y= 0oux+y= 0, c’est immédiat. Sinon :

On a(x+y)−1(x+y) = 1donc

(x+y)−1(1 +x−1y) =x−1et(x+y)−1(1 +xy−1)y−1(*)
=

5

Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux élémentsx−1you
xy−1= (x−1y)−1appartient àA.
Par opérations dansAà l’aide des relations (*), si(x+y)−1∈Aalorsx−1ouy−1
appartient àAce qui est exclu. Ainsi(x+y)−1∈Aet doncx+y∈I.
FinalementIest un idéal deA.
b) SoitJun idéal deAdistinct deA.
Pour toutx∈J, six−1∈Aalors par absorption1 =xx−1∈Jet doncJ=Ice
qui est exclu.
On en déduit quex−1∈ Aet doncx∈I. AinsiJ⊂I.

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