Sujet : Algèbre, Eléments d algèbre générale, Relation d équivalence
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Relation d’équivalence Exercice 6 [ 03453 ] [correction] Soit (G,.) un groupe de cardinal 2n. a) Justifier que l’on définit une relation d’équivalenceR sur G en posantExercice 1 [ 02643 ] [correction] SoitR une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive et transitive. −1xRy⇔x =y ou x =y On définit les nouvelles relationsS etT par : b) En déduire l’existence dans G d’un élément d’ordre 2.xSy⇔ (xRy et yRx) et xTy⇔ (xRy ou yRx) Les relationsS etT sont-elles des relations d’équivalences? Exercice 7 X MP [ 03243 ] [correction] α ?Soit G un groupe multiplicatif de cardinal p avec p premier et α∈N .Exercice 2 [ 02644 ] [correction] Montrer queSoit E un ensemble et A une partie de E. Z(G) ={1}On définit une relationR sur ℘(E) par : XRY ⇔X∪A =Y∪A a) Montrer queR est une relation d’équivalence b) Décrire la classe d’équivalence de X∈℘(E) Exercice 3 [ 02983 ] [correction] On considère surF(E,E) la relation binaireR définie par : fRg⇔∃ϕ∈S(E) telle que f◦ϕ =ϕ◦g a) Montrer queR est une relation d’équivalence. b) Décrire la classe d’équivalence d’une fonction donnée f∈S(E). Exercice 4 [ 02984 ] [correction] SoitR une relation binaire réflexive et transitive. On définit une relationS par : xSy⇔xRy et yRx Montrer queS est une relation d’équivalence et queR permet de définir une relation d’ordre sur les classes d’équivalences deS. Exercice 5 [ 02985 ] [correction] Soit (G,×) un groupe et H un sous groupe de (G,×).

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Langue Français

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Relation d’équivalence

Exercice 1[ 02643 ][correction]
SoitRune relation binaire sur un ensembleEà la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relationsSetTpar :

xSy⇔(xRyetyRx)etxTy⇔(xRyouyRx)

Les relationsSetT ?sont-elles des relations d’équivalences

Exercice 2[ 02644 ][correction]
SoitEun ensemble etAune partie deE.
On définit une relationRsur℘(E)par :

XRY⇔X∪A=Y∪A

a) Montrer queRest une relation d’équivalence
b) Décrire la classe d’équivalence deX∈℘(E)

Exercice 3[ 02983 ][correction]
On considère surF(E E)la relation binaireRdéfinie par :

fRg⇔ ∃ϕ∈S(E)telle quef◦ϕ=ϕ◦g

a) Montrer queRest une relation d’équivalence.
b) Décrire la classe d’équivalence d’une fonction donnéef∈S(E).

Exercice 4[ 02984 ][correction]
SoitRune relation binaire réflexive et transitive.
On définit une relationSpar :

xSy⇔xRyetyRx

Montrer queSest une relation d’équivalence et queRpermet de définir une
relation d’ordre sur les classes d’équivalences deS.

Exercice 5[ 02985 ][correction]
Soit(G×)un groupe etHun sous groupe de(G×).
On définit une relation binaireRsurGpar :

xRy⇔xy−1∈H

Montrer queRest une relation d’équivalence et en décrire les classes
d’équivalence.

Enoncés

Exercice 6[ 03453 ][correction]
Soit(G )un groupe de cardinal2n.
a) Justifier que l’on définit une relation d’équivalenceRsurGen posant

xRy⇔x=youx=y−1

b) En déduire l’existence dansGd’un élément d’ordre 2.

Exercice 7X MP[ 03243 ][correction]
SoitGun groupe multiplicatif de cardinalpαavecppremier etα∈N?.
Montrer que
Z(G)6={1}

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Les relationsSetTsont clairement réflexives et symétriques.
Soientx y z∈E.
SupposonsxSyetySz.
On a alorsxRyetyRzdoncxRzet aussiyRxetzRydonczRxpuisxSz.
Le raisonnement n’est plus valable avecTet on peut présumer queTne sera pas
une relation d’équivalence.
Prenons pourRla relation divise définie surN?. On a2|6et3|6donc2T6et
6T3or26 T3.
Ici la relationTn’est pas transitive.

Exercice 2 :[énoncé]
a) La relation étudiée est évidemment réflexive, symétrique et transitive.
b)Y∈Cl(X)⇔Y∪A=X∪A.
SoitY∈Cl(X). On aY∪A=X∪A
∀x∈Y\Aon ax∈Y∪A=X∪Aetx∈ Adoncx∈X\A. AinsiY\A⊂X\Aet
inversementX\A⊂Y\AdoncX\A=Y\A.
PuisqueY= (Y\A)∪(Y∩A)on aY= (X\A)∪BavecB∈℘(A).
Inversement soitY= (X\A)∪BavecB∈℘(A).
¯
On aY∪A= (X\A)∪(B∪A) = (X∩A)∪A=X∪A.
FinalementCl(X) ={(X\A)∪BB∈℘(A)}.

Exercice 3 :[énoncé]
a)f◦IdE=IdE◦fdoncfRf.
SifRgalors il existeϕ∈S(E)telle quef◦ϕ=ϕ◦gmais alors
g◦ϕ−1=ϕ−1◦fdoncgRf.
SifRgetgRhalors il existeϕ ψ∈S(E)telles quef◦ϕ=ϕ◦getg◦ψ=ψ◦h
doncf◦θ=θ◦havecθ=ϕ◦ψ∈S(E). AinsifRh.
b)
g∈ Cl(f)⇔ ∃ϕ∈S(E),g=ϕ−1◦f◦ϕ

Finalement

Cl(f) =ϕ−1◦f◦ϕϕ∈S(E)

Exercice 4 :[énoncé]
Sest réflexive, symétrique et transitive sans difficultés.

On définitCl(x)4Cl(y)⇔xRy. La relation4est bien définie, réflexive
transitive.
SiCl(x)4Cl(y)etCl(y)4Cl(x)alorsxSydoncCl(x) =Cl(y).

Exercice 5 :[énoncé]
Soitx∈G. On axRxcarxx−1= 1∈H.
Soientx y∈G. SixRyalorsxy−1∈Het doncyx−1∈Hd’oùyRx.
Soientx y z∈G. SixRyetyRzalorsxy−1∈Hetyz−1∈Hdoncxz−1∈H
d’oùxRz.
FinalementRest une relation d’équivalence.
Soita∈G.

x∈Cl(a)⇔xRa⇔xa1∈H

donc

Cl(a) =H a={hah∈H}

2

Exercice 6 :[énoncé]
a) La relation est immédiatement réflexive et symétrique.
En discutant selon les cas d’égalité, on montre aussi qu’elle est transitive.
b) S’il n’existe pas dans(G )d’élément d’ordre 2, les classes d’équivalence de la
relationRcomportent toutes deux éléments sauf celle deequi ne comporte qu’un
élément. Les classes d’équivalence étant disjointes de réunionG, le cardinal deG
est alors impair ce qui est contraire aux hypothèses.

Exercice 7 :[énoncé]
Considérons la relation binaireRsurGdéfinie par

y1Ry2⇔ ∃x∈G xy1=y2x

Il est immédiat de vérifier queRest une relation d’équivalence surG. Les classes
d’équivalence deRforment donc une partition deGce qui permet d’affirmer que
le cardinal deGest la somme des cardinaux des classes d’équivalence deR.
Une classe d’équivalence d’un élémentyest réduite à un singleton si, et seulement
si,
∀x∈G xy=yx

i.e.

y∈Z(G)

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

En dénombrantGen fonction des classes d’équivalence deRet en isolant parmi
celles-ci celles qui sont réduites à un singleton on a

CardG=CardZ(G) +N

avecNla somme des cardinaux des classes d’équivalence deRqui ne sont pas
réduites à un singleton.
Pour poursuivre, montrons maintenant que le cardinal d’une classe d’équivalence
de la relationRdivise le cardinal deG.
Considérons une classe d’équivalence{y1     yn}pour la relationRet notons

Hi={x∈Gxy1=yix}

Pouri∈ {1     n}, puisquey1Ryi, il existexi∈Gtel que

xiy1=yixi

Considérons alors l’applicationϕ:H1→Hidéfinie par

ϕ(x) =xix

On vérifie que cette application est bien définie et qu’elle est bijective.
On en déduit
CardH1=  =CardHm=n

et puisqueGest la réunion disjointes desH1     Hm

CardG=mn=pα

Ainsi toutes les classes d’équivalences qui ne sont pas réduites à 1 élément ont un
cardinal multiple depet doncp|N.
Puisquepdivise CardG=CardZ(G) +N, on a

p|CardZ(G)

SachantZ(G)6=∅(car1∈Z(G)) on peut affirmer

CardZ(G)>p

3

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