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Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Généralités d'algèbre linéaire

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Généralités d’algèbre linéaire Exercice 7 [ 03133 ] [correction] Soient a,b∈R distincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme ϕ de R [X] vérifiantExercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f∈L(E) tel que pour tout x∈E, x et f(x) soient colinéaires. ϕ(1) = 1, ϕ(X) =X et∀P∈R [X],P (a) =P (b) = 0⇒ϕ(P ) = 0 Montrer que f est une homothétie vectorielle. Exercice 8 [ 03247 ] [correction]Exercice 2 [ 03418 ] [correction] Soient u un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E et F un sous-espaceSoient f,g∈L(E,F ). On suppose vectoriel de E. −1∀x∈E,∃λ ∈K,g(x) =λ f(x)x x a) Exprimer u (u(F )) en fonction de F et de keru. −1b) u(u (F )) en de F et de Imu. Montrer qu’il existe λ∈K tel que −1 −1c) A quelle condition a-t-on u(u (F )) =u (u(F ))? g =λf Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 03286 ] [correction] Exercice 3 [ 00160 ] [correction] Caractériser les sous-espaces F d’un espace vectoriel E tels que Soient F, G et H des sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel E. −1 −1h (h(F )) =h(h (F ))Comparer : a) F∩ (G +H) et (F∩G) + (F∩H). b) F + (G∩H) et (F +G)∩ (F +H). Exercice 10 [ 03408 ] [correction] SoitK une algèbre intègre surR de dimension finie n> 2. On assimileR àR.1 où Exercice 4 [ 00161 ] [correction] 1 est l’élément deK neutre pour le produit. A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle est un a) Montrer que tout élément non nul deK est inversible. sous-espace vectoriel?

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Généralités d’algèbre linéaire

Exercice 1[ 00159 ][correction]
Soitf∈ L(E)tel que pour toutx∈E,xetf(x)soient colinéaires.
Montrer quefest une homothétie vectorielle.

Exercice 2[ 03418 ][correction]
Soientf g∈ L(E F). On suppose

∀x∈E∃λx∈K g(x) =λxf(x)

Montrer qu’il existeλ∈Ktel que

g=λf

Exercice 3[ 00160 ][correction]
SoientF,GetHdes sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE.
Comparer :
a)F∩(G+H)et(F∩G) + (F∩H).
b)F+ (G∩H)et(F+G)∩(F+H).

Exercice 4[ 00161 ][correction]
A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle est un
sous-espace vectoriel ?

Exercice 5[ 00163 ][correction]
Soientn∈N?,E=Rn[X]etΔl’endomorphisme deEdéterminé par
Δ(P) =P(X+ 1)−P(X).
a) Justifier que l’endomorphismeΔest nilpotent.
b) Déterminer des réelsa0     an an+1non triviaux vérifiant :

n+1
∀P∈Rn[X]XakP(X+k) = 0
k=0

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02662 ][correction]
SoitK=Q+√2Q+√3Q+√6Q.
a) Montrer que(1√2√3√6)est uneQ-base duQ-espace vectorielK.
b) Montrer queKest un sous-corps deR.

Enoncés

Exercice 7[ 03133 ][correction]
Soienta b∈Rdistincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphismeϕde
R[X]vérifiant

ϕ(1) = 1,ϕ(X) =Xet∀P∈R[X] P(a) =P(b) = 0⇒ϕ(P) = 0

Exercice 8[ 03247 ][correction]
Soientuun endomorphisme d’unK-espace vectorielEetFun sous-espace
vectoriel deE.
a) Exprimeru−1(u(F))en fonction deFet dekeru.
b) Exprimeru(u−1(F))en fonction deFet de Imu.
c) A quelle condition a-t-onu(u−1(F)) =u−1(u(F))?

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 03286 ][correction]
Caractériser les sous-espacesFd’un espace vectorielEtels que

h−1(h(F)) =h(h−1(F))

1

Exercice 10[ 03408 ][correction]
SoitKune algèbre intègre surRde dimension finien>2. On assimileRàR1où
1est l’élément deKneutre pour le produit.
a) Montrer que tout élément non nul deKest inversible.
b) Soitaun élément deKnon situé dansR. Montrer que la famille(1 a)est libre
tandis que le famille(1 a a2)est liée.
c) Montrer l’existence dei∈Ktel quei2=−1.
d) Montrer que siKest commutative alorsKest isomorphisme àC.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Pour toutxnon nul, la liaison de la famille(x f(x))permet d’écriref(x) =λxx
avecλx∈Kunique.
Soientx ynon nuls.
Cas(x y)liée :
On peut écrirey=µxet alors

f(y) =µλxx=λxy

doncλy=λx.
Cas(x y)libre :
f(x+y) =λx+y(x+y) =λxx+λyy
doncλx=λyidentification des scalaires facteurs dans une famille libre.par
On poseλla valeur commune desλx. On a donc
∀x∈E\ {0E} f(x) =λx
et cette relation vaut aussi pourx= 0E. On peut alors concluref=λId.

Exercice 2 :[énoncé]
Soientx y∈E\kerf.
Si la famille(f(x) f(y))est libre alors les deux égalités

g(x+y) =λx+y(f(x) +f(y))etg(x+y) =λxf(x) +λyf(y)
entraînentλx=λypar identification des coefficients.
Si la famille(f(x) f(y))est liée avec alors on peut écrire

f(y) =αf(x)avecα6= 0

et doncy−αx∈kerf. Or il est immédiat d’observer que le noyau defest inclus
dans celui deget donc
g(y) =αg(x)
De plus
αg(x) =αλxf(x)etg(y) =αλyf(x)

donc à nouveauλx=λy.
Posonsλla valeur commune des scalairesλxpourxparcourantE\kerf.
Pour toutx∈E, qu’il soit danskerfou non, on peut affirmer

et doncg=λf.

g(x) =λf(x)

2

Exercice 3 :[énoncé]
a) Soitx∈(F∩G) + (F∩H), on peut écrirex=u+vavecu∈F∩Get
v∈F∩H.
Commeu v∈Fon ax∈Fet commeu∈Getv∈Hon au+v∈G+H.
Par suite(F∩G) + (F∩H)⊂F∩(G+H).
L’égalité n’est pas possible, prendreF G Htrois droites distinctes d’un mme
plan.
b) Soitx∈F+ (G∩H), on peut écrirex=u+vavecu∈Fetv∈G∩H.
Commeu∈Fetv∈Gon ax∈F+Get de mmex∈F+Hdonc
x∈(F+G)∩(F+H).
L’égalité n’est pas possible, prendre à nouveau trois droites distinctes d’un mme
plan.

Exercice 4 :[énoncé]
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE.
SiF⊂GouG⊂FalorsF∪GvautFouGet est évidemment un sous-espace
vectoriel deE.
Inversement, supposons queF∪Gsoit un sous-espace vectoriel deEetF6⊂G.
Il existex∈Ftel quex∈ G. Pour touty∈G,x+y∈F∪Gpar stabilité du
sous-espace vectorielF∪G. Six+y∈Galorsx= (x+y)−y∈Gce qui est
exclu. Il restex+y∈Fet alorsy= (x+y)−x∈F. AinsiG⊂F.

Exercice 5 :[énoncé]
a) On remarque que sidegP6malorsdeg Δ(P)6m−1.
On en déduit ImΔ⊂Rn−1[X], ImΔ2⊂Rn−2[X],. . . puisΔn+1= 0.
b) Introduisons l’endomorphismeT:P(X)7→P(X+ 1).
On aΔ =T−Id et par la formule du binôme de Newton (Tet Id commutent),
knX1=0+(−1)n+1−kkn+ 1!Tk= 0

Ainsi pour

on a

1
ak= (−1)kkn+!

n+1
∀P∈Rn[X]XakP(X+k) = 0
k=0

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Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
a) Il est clair queKest un sous-espace vectoriel deRet que la famille
(1√2√3√6)estQ-génératrice.
Montrons qu’elle est libre en raisonnant par l’absurde.
Supposonsa+b√2 +c√3 +d√6 = 0aveca b c d∈Qnon tous nuls.
Quitte à réduire au mme dénominateur, on peut supposera b c d∈Znon tous
nuls.
Quitte à factoriser, on peut aussi supposer pgcd(a b c d) = 1.
On aa+b√22=c√3 +d√62donca2+ 2ab√2 + 2b2= 3c2+ 6cd√2 + 6d2.
a
Par l’irrationalité de√2on parvient au système(a2b23+=bc2d= 3c2+ 6d2.
Par suite3|abet3|a2+ 2b2donc3|aet3|b.
Ceci entraîne3|cdet3|c2+ 2d2donc3|cet3|d.
Ceci contredit pgcd(a b c d) = 1.
Ainsi la famille(1√2√3√6)estQ-libre et c’est donc uneQ-base deK.
b) Sans peine, on vérifie queKest un sous-anneau deR.
Soitx=a+b√2 +c√3 +d√6∈Kaveca b c d∈Qnon tous nuls.
a+b−
1x=(a+b√1)2(+c√3+d√6)=(a2+2b2−3c√22−6(dc2√)+2(3+da√b6−)3cd)√2=a+b√2α−+(βc√√2+3d√6)
puisx1=(a+b√2−(c√α23+−d2β√26))(α−β√2)∈Ket doncKest un sous-corps deR.
Notons que les quantités conjuguées par lesquelles on a ci-dessus multiplié ne sont
pas nuls carxest non nul et la famille(1√2√3√6)estQ-libre.

Exercice 7 :[énoncé]
Supposonsϕsolution.
SoitP∈R[X]. Par division euclidienne dePpar(X−a)(X−b)on peut écrire

P= (X−a)(X−b)Q(X) +αX+β

En évaluant cette identité enaetb, on détermineαetβ
P a)etβ=bP(a)−a
α=P(bb)−−a(b−Pa(b)

Par linéarité deϕon obtient

ϕ(P) =ϕ(αX+β) =αX+β

carϕ((X−a)(X−b)Q(X)) = 0.
Ainsi
ϕ(P) =P(bb)−−P(a)X+bP(ba)−−aPa(b)
a

ce qui détermineϕde façon unique.
Inversement, on vérifie aisément que l’applicationϕdéfinie surR[X]par la
relation précédente est un endomorphisme deR[X]résolvant le problème posé.

Exercice 8 :[énoncé]
a)u−1(u(F))est un sous-espace vectoriel deEqui contientFetkerudonc

F+ keru⊂u−1(u(F))

Inversement, soitx∈u−1(u(F)). On au(x)∈u(F)donc il existea∈Ftel que
u(x) =u(a)et alors pourb=x−aon ax=a+baveca∈Fetb∈keru. Ainsi

u−1(u(F)) =F+ keru

b)u(u−1(F))est un sous-espace vectoriel deEinclus dansFet dans Imudonc

u(u−1(F))⊂F∩Imu

Inversement, soitx∈F∩Imu. Il existea∈Etel quex=u(a). Or, puisque
x∈F,a∈u−1(F)et doncx=u(a)∈u(u−1(F)). Ainsi

u(u−1(F)) =F∩Imu

c) On au(u−1(F)) =u−1(u(F))si, et seulement si,

F+ keru=F∩Imu

Si cette condition est vérifiée alors

et donc

ce qui entraîne

F⊂F+ keru=F∩Imu⊂F

F=F+ keru=F∩Imu

keru⊂FetF⊂Imu

Inversement, si ces conditions sont vérifiées, on a immédiatement
F+ keru=F=F∩Imu.
Finalementu(u−1(F)) =u−1(u(F))si, et seulement si,Fest inclus dans l’image
d’un endomorphisme injectif.

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Exercice 9 :[énoncé]
Les inclusions suivantes sont toujours vraies

F⊂h−1(h(F))eth(h−1(F))⊂F

Sih−1(h(F)) =h(h−1(F))alors

h−1(h(F)) =Feth(h−1(F)) =F

Les inclusionsh−1(h(F))⊂FetF⊂h(h−1(F))entraînent respectivement
kerh⊂FetF⊂Imh.
Inversement, supposons
kerh⊂F⊂Imh

Pourx∈h−1(h(F)), il existea∈Ftel queh(x) =h(a). On a alors
x−a∈kerh⊂Fet doncx=a+ (x−a)∈F. Ainsih−1(h(F))⊂Fpuis
h−1(h(F)) =F
Aussi poury∈F⊂Imh, il existea∈Etel quey=h(a)et puisquey∈F,
a∈h−1(F). AinsiF⊂h(h−1(F))puisF=h(h−1(F)).
Finalement
h−1(h(F)) =h(h−1(F))

Corrections

Exercice 10 :[énoncé]
a) Soitaun élément non nul deK. L’applicationϕ:x7→axestR-linéaire deK
versKet son noyau est réduit à{0}car l’algèbreKest intègre. PuisqueKest un
R-espace vectoriel de dimension finie, l’endomorphismeϕest bijectif et il existe
doncb∈Kvérifiantab= 1. Puisque

ϕ(ba) =a(ba) = (ab)a=a=ϕ(1)

on a aussiba= 1et doncaest inversible d’inverseb.
b) Puisque16= 0, si la famille(1 a)était liée alorsa∈R1 =R ;ce qui est exclu
on peut donc affirmer que la famille(1 a)est libre.
Puisque laR-algèbreaest de dimensionn, on peut affirmer que la famille
(1 a a2     an)est liée car formée den+ 1vecteurs. Il existe donc un polynôme
non nulP∈Rn[X]tel queP(a) = 0. Or ce polynôme se décompose en un produit
de facteurs de degrés 1 ou 2. Puisque les facteurs de degré 1 n’annule pasaet
puisque l’algèbre est intègre, il existe un polynôme de degré 2 annulanta. On en
déduit que la famille(1 a a2)est liée.
c) Plus exactement avec ce qui précède, on peut affirmer qu’il existeα β∈Rtel
que
a2+αa+β= 0avecΔ =α2−4β <0

On a alors
a+α22=α24−4β
et on obtient donci2=−1en prenant

i2a+α
=
p4β−α2

4

d) Par l’absurde, supposonsn= dimK>2.
Il existea b∈Ktels que(1 a b)soit libre.
Comme ci-dessus, on peut alors introduirei∈Vect(1 a)etj∈Vect(1 b)tels que

On a alors par commutativité

i2=−1 =j2

(i−j)(i+j) = 0

et l’intégrité deKentraînei=joui=−j. Dans un cas comme dans l’autre, on
obtient
1 a b∈Vect(1 i)

ce qui contredit la liberté de la famille(1 a b).
On en déduitn= 2. Il est alors facile d’observer queKest isomorphe àC.

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