Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Endomorphisme autoadjoint

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Endomorphisme autoadjoint Exercice 7 [ 00365 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien E. ?a) Montrer que u =f ◦f est diagonalisable et que ses valeurs propres sontExercice 1 [ 00361 ] [correction] positives ou nullesSoit f un endomorphisme symétrique d’un espace vectoriel euclidien E. ⊥b) Etablir keru = kerf puis Imu = (kerf)Montrer que les espaces Imf et kerf sont supplémentaires et orthogonaux. Exercice 2 [ 00362 ] [correction] Exercice 8 [ 00366 ] [correction] Soient f etg deux endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidien E. Soit u un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E de valeurs propres Montrer que f◦g est symétrique si, et seulement si, f◦g =g◦f. λ ,...,λ comptées avec multiplicité et rangées en ordre croissant.1 n Montrer 2 2 ∀x∈E, λ kxk 6 (u(x)|x)6λ kxk1 n Exercice 3 [ 01751 ] [correction] SoitE un espace euclidien de dimension n> 2,a un vecteur unitaire de E etk un réel. Exercice 9 [ 00367 ] [correction] a) Montrer que Soit u un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E. f(x) =x +k(x|a)a On notekuk la norme de l’endomorphisme u subordonnée à la norme euclidienne. définit un endomorphisme autoadjoint de E. Etablir b) Etudier les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

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Endomorphisme autoadjoint

Exercice 1[ 00361 ][correction]
Soitfun endomorphisme symétrique d’un espace vectoriel euclidienE.
Montrer que les espaces Imfetkerfsont supplémentaires et orthogonaux.

Enoncés

Exercice 2[ 00362 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidienE.
Montrer quef◦gest symétrique si, et seulement si,f◦g=g◦f.

Exercice 3[ 01751 ][correction]
SoitEun espace euclidien de dimensionn>2,aun vecteur unitaire deEetkun
réel.
a) Montrer que
f(x) =x+k(x|a)a
définit un endomorphisme autoadjoint deE.
b) Etudier les valeurs propres et les sous-espaces propres def.

Exercice 4CCP MP[ 00083 ][correction]
SoitEun espace euclidien de dimensionn>2,aun vecteur unitaire deEetkun
réel,k6=−1.
a) Montrer que
f(x) =x+k(x|a)a
définit un endomorphisme autoadjoint deE.
b) Montrer quefest un automorphisme.
c) Etudier les valeurs propres et les sous-espaces propres def.

Exercice 5[ 00363 ][correction]
Soitpune projection d’un espace vectoriel euclidienE.
Montrer que la projectionpest orthogonale si, et seulement si,p?=p.

Exercice 6[ 00364 ][correction]
Soitfun endomorphisme symétrique deEvérifiant

Déterminerf.

∀x∈E,(f(x)|x) = 0

Exercice 7[ 00365 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel euclidienE.
a) Montrer queu=f?◦fest diagonalisable et que ses valeurs propres sont
positives ou nulles
b) Etablirkeru= kerfpuis Imu= (kerf)⊥

1

Exercice 8[ 00366 ][correction]
Soituun endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidienEde valeurs propres
λ1     λncomptées avec multiplicité et rangées en ordre croissant.
Montrer
∀x∈E,λ1kxk26(u(x)|x)6λnkxk2

Exercice 9[ 00367 ][correction]
Soituun endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidienE.
On notekukla norme de l’endomorphismeusubordonnée à la norme euclidienne.
Etablir
kuk= sup|λ|
λ∈Sp(u)

Exercice 10[ 00368 ][correction]
SoientEun espace vectoriel euclidien de dimensionnetSsa sphère unité

S={x∈Ekxk= 1}

Pourp∈ {1     n}, on noteVpl’ensemble des sous-espaces vectoriels deEde
dimensionp.
Soitfun endomorphisme autoadjoint deEde valeurs propresλ16∙ ∙ ∙6λn
comptées avec multiplicité. Etablir

λp=Vm∈iVnpx∈mSa∩xV(f(x)|x)

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02741 ][correction]
SoitK∈ C[01]2Rnon nulle telle que∀(x y)∈[01]2 K(x y) =K(y x). On
noteE=C([01]R). Pourf∈E, soit
1
Z0
Φ(f) :x∈[01]→K(x y)f(y)dy∈R

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a) Vérifier queΦ∈ L(E).
b) L’applicationΦest-elle continue pourkk∞? pourkk1?
c) Montrer queΦest autoadjoint pour le produit scalaire associé àkk2surE.
Soit
Ω =0m6xa6x1Z10|K(y−1
x y)|d
d) Montrer
∀λ∈]−ΩΩ[∀h∈E∃!f∈E h=f−λΦ(f)
e) Siλ∈R?, montrer que :
dim ker(Φ−λId)6λ12Z Z[01]2K(x y)2dxdy

Enoncés

Exercice 12Centrale MP[ 03189 ][correction]
SoientEun espace euclidien etf∈GL(E).
a) Démontrer l’existence d’une base orthonormée deEtransformée parfen une
base orthogonale.
b) SoitM∈GLn(R). Démontrer l’existence de deux matrices orthogonalesUet
Vtelles queU M Vsoit diagonale.
Mme question avecMnon inversible.
c) Application
M=2211

Exercice 13[ 03400 ][correction]
Soituun endomorphisme diagonalisable d’un espace euclidienE.
On suppose que les endomorphismesuetu?commutent. Montrer que
l’endomorphismeuest autoadjoint.

Exercice 14[ 03430 ][correction]
On poseE=Rn[X]muni du produit scalaire définie par
(P|Q) =Z01P(t)Q(t) dt

a) Montrer que la relation
Z1x+t)nP(t
u(P)(x d )) = (t
0

définit un endomorphismeude l’espaceE.
b) Vérifier que l’endomorphismeuest symétrique
c) Calculer la trace deu.

Exercice 15[ 03118 ][correction]
SoitEun espace vectoriel euclidien de dimension non nulle.
a) Montrer que sipest un projecteur orthogonal deEalorspest autoadjoint.
Soientpetqdeux projecteurs orthogonaux deE.
b) Montrer quep◦q◦pest autoadjoint.
c) Montrer que
(Imp+ kerq)⊥=Imq∩kerp
d) En déduire quep◦qest diagonalisable.

Exercice 16Centrale MP[ 02408 ][correction]
On se place dans l’espace euclidienE.
1) Soitpun projecteur deE.
Etablir l’équivalence des conditions suivantes :
(i)p ;est un projecteur orthogonal
(ii)∀x∈Ekp(x)k6kxk;
(iii)pest autoadjoint.
2) Soientpetqdeux projecteurs orthogonaux.
a) Montrer quep◦q◦pest autoadjoint.
b) Montrer que
(Imp+ kerq)⊥=Imq∩kerp
c) Montrer quep◦qest diagonalisable.

Exercice 17[ 02732 ][correction]
Soientpetqdes projecteurs orthogonaux d’un espace euclidienE.
a) Montrer quep◦q◦pest diagonalisable et que ses valeurs propres sont
comprises entre 0 et 1.
b) Déterminer(Imp+ kerq)⊥
c) En déduire quep◦qest diagonalisable et que ses valeurs propres sont
comprises entre 0 et 1.

Exercice 18[ 03486 ][correction]
a) Vérifier que l’on définit un produit scalaire surR2par :

hx yi=x1x2+ 5y1y2−2 (x1y2+x2y1)

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Enoncés

b) Pour quelle(s) valeur(s) dea∈Rl’endomorphismeucanoniquement représenté
par
a
M=002

est-il autoadjoint ?

Exercice 19CCP MP[ 03591 ][correction]
Soienta∈R?,uun vecteur unitaire deR3euclidien.
a) Montrer que l’applicationfadéfinie par

fa(x) =x+ahx uiu

est un endomorphisme deR3.
b) Montrer qu’il existe un uniquea06= 0vérifiant

∀x∈R3kfa0(x)k=kxk

Donner la nature defa0(on pourra s’intéresser àfa20).
c) Montrer quefaest un endomorphisme symétrique et déterminer ses éléments
propres.

3

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitx∈kerfety=f(a)∈Imf.
On a
(x|y) = (x|f(a)) = (f(x)|a) = 0

Corrections

Les espaceskerfet Imfdonc orthogonaux. Ils sont alors en somme directesont
et puisque la formule du rang donne

dim kerf+ dimImf= dimE

on peut affirmer que ces espaces sont supplémentaires.

Exercice 2 :[énoncé]
(f◦g)?=g?◦f?=g◦fdonc(f◦g)?=f◦gsi, et seulement si,f◦g=g◦f.

Exercice 3 :[énoncé]
a)fest évidemment un endomorphisme deEet pourx y∈E,

(f(x)|y) = (x|y) +k(x|a)(y|a) = (x|f(y))

Ainsifest autoadjoint (et donc diagonalisable dans une base orthonormée).
b)f(a) = (1 +k)adonc1 +k∈Spfet Vecta⊂E1+k(f).
Pourx∈Vect(a)⊥,f(x) =xdonc1∈Spfet(Vecta)⊥⊂E1(f).
On peut alors conclure que sik6= 0

Spf={11 +k},E1+k(f) =VectaetE1(f) = (Vecta)⊥

car la somme des dimensions des sous-espaces propres defest égale àn.
Dans le cask= 0, on af=Id.
On peut aussi représenterfpar une matrice diagonale en considérant une base
orthonormée dont le premier vecteur est le vecteura.

Exercice 4 :[énoncé]
a)fest évidemment un endomorphisme deEet pourx y∈E,

(f(x)|y) = (x|y) +k(x|a)(y|a) = (x|f(y))

Ainsifest autoadjoint (et donc diagonalisable dans une base orthonormée).

b) Sif(x) = 0alorsx+k(x|a)a= 0et doncx∈Vecta.
Orf(a) = (1−k)a6= 0donckerf={0}et par suitefest un automorphisme de
E.
c)f(a) = (1−k)adonc1−k∈Spfet Vecta⊂E1−k(f).
Pourx∈Vect(a)⊥,f(x) =xdonc1∈Spfet(Vecta)⊥⊂E1(f).
On peut alors conclure que sik6= 0alors

Spf={11−k},E1−k(f) =VectaetE1(f) = (Vecta)⊥
car la somme des dimensions des sous-espaces propres defest égale àn.
Dans le cask= 0, on af=Id.

Exercice 5 :[énoncé]
Sipest une projection orthogonale alors

<