Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Matrices et endomorphismes antisymétriques
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Matrices et endomorphismes antisymétriques Exercice 5 [ 00375 ] [correction] Un endomorphisme u d’un espace euclidien E est dit antisymétrique si Exercice 1 [ 00374 ] [correction] ∀x∈E, (u(x)|x) = 0 Un endomorphisme f d’une espace vectoriel euclidien est dit antisymétrique si ?f =−f. Soit u un endomorphisme antisymétrique. a) Soit f∈L(E). Montrer que f est antisymétrique si, et seulement si, a) Quelles sont les seules valeurs propres réelles possibles pour u? A quelle condition un endomorphisme antisymétrique est-il diagonalisable? ∀x∈E, (f(x)|x) = 0 b) Etablir que, pour tout x,y∈E, On suppose désormais que E est un espace vectoriel euclidien orienté de (u(x)|y) =−(x|u(y)) dimension 3. b) Soit u∈E. Montrer que f :x7→u∧x est un endomorphisme antisymétrique En déduire que la matrice A dans une base orthonormée d’un endomorphisme de E. antisymétrique est elle-même antisymétrique. c) Inversement, soit f un endomorphisme antisymétrique de E. Etablir qu’il existe c) Soient A une matrice antisymétrique réelle, λ une valeur propre complexe de la un unique vecteur u∈E tel que f(x) =u∧x pour tout x∈E. matrice A et X un vecteur propre associé. t ¯En étudiant XAX, établir que λ∈iR. Exercice 2 [ 00373 ] [correction] Montrer que tout matrice antisymétrique réelle est de rang pair.

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Matrices et endomorphismes antisymétriques

Exercice 1[ 00374 ][correction]
Un endomorphismefd’une espace vectoriel euclidien est dit antisymétrique si
?
f=−f.
a) Soitf∈ L(E). Montrer quefest antisymétrique si, et seulement si,

∀x∈E(f(x)|x) = 0

Enoncés

On suppose désormais queEest un espace vectoriel euclidien orienté de
dimension 3.
b) Soitu∈E. Montrer quef:x7→u∧xest un endomorphisme antisymétrique
deE.
c) Inversement, soitfun endomorphisme antisymétrique deE. Etablir qu’il existe
un unique vecteuru∈Etel quef(x) =u∧xpour toutx∈E.

Exercice 2[ 00373 ][correction]
Montrer que tout matrice antisymétrique réelle est de rang pair.

Exercice 3Centrale PC[ 03084 ][correction]
Montrer que le déterminant d’une matrice antisymétrique réelle est positif ou nul.

Exercice 4[ 02606 ][correction]
SoitEun espace vectoriel euclidien dont le produit scalaire est noté(|)
Une applicationf:E→Eest dite antisymétrique lorsque

∀x y∈E(f(x)|y) =−(x|f(y))

a) Montrer qu’une telle application est linéaire (ce qui permet dès lors de parler
d’endomorphisme antisymétrique)
b) Montrer que la matrice dans une base orthonormée d’un endomorphisme
antisymétrique deEest elle-mme antisymétrique.
c) SoientA∈ Mn(R)une matrice antisymétrique,λune valeur propre complexe
deAetX∈ Mn1(C)une colonne non nulle vérifiant

AX=λX
¯
En calculant de deux façonstXAX, établir

λ∈iR

d) En déduire que le déterminant d’un endomorphisme antisymétrique est un réel
positif.

Exercice 5[ 00375 ][correction]
Un endomorphismeud’un espace euclidienEest dit antisymétrique si

∀x∈E,(u(x)|x) = 0

Soituun endomorphisme antisymétrique.
a) Quelles sont les seules valeurs propres réelles possibles pouru?
A quelle condition un endomorphisme antisymétrique est-il diagonalisable ?
b) Etablir que, pour toutx y∈E,

(u(x)|y) =−(x|u(y))

1

En déduire que la matriceAdans une base orthonormée d’un endomorphisme
antisymétrique est elle-mme antisymétrique.
c) SoientAune matrice antisymétrique réelle,λune valeur propre complexe de la
matriceAetXun vecteur propre associé.
¯
En étudianttXAX, établir queλ∈iR.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02758 ][correction]
a) SoitEunR-espace vectoriel,ϕune forme bilinéaire symétrique non dégénérée
surEetfdansL(E)telle que

∀x y∈E,ϕ(f(x) y) =−ϕ(x f(y))

Montrer quefest de rang pair.
b) SiA∈ Mn(R), montrer que le commutant deAdansMn(R)est de
codimension paire.

Exercice 7X MP[ 02915 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)antisymétrique. Montrer queAest orthogonalement semblable à
une matrice diagonale par blocs avec sur la diagonale des zéros et des blocs de la
forme
−0a0a

oùa∈R

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 03748 ][correction]
SoitA∈ Mn(R)telle quetA=−A.
a) Montrer que sinest impair alorsAn’est pas inversible.
b) Montrer que sinest pair,detA>0. Sous quelle condition l’inégalité est-elle
stricte ?

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Exercice 9Mines-Ponts MP[ 03749 ][correction]
Montrer queAantisymétrique réelle d’ordrenest semblable à
0C00

oùCest une matrice inversible d’ordre pair.

Exercice 10CCP MP[ 03434 ][correction]
SoientEun espace euclidien dont le produit scalaire est noté(|)etuun
endomorphisme deEvérifiant

∀x∈E(u(x)|x) = 0

a) Montrer queu?=−u.
b) Montrer que l’image et le noyau deusont supplémentaires.
c) Montrer que le rang deuest pair.

Exercice 11CCP MP[ 02737 ][correction]
SoitEeuclidien orienté de dimension 3 etun espace vectoriel réel f∈ L(E).
Montrer l’équivalence de :
(i)f?=−f;
(ii) il existew∈Etel quef(x) =w∧xpour toutx∈E.

Exercice 12CCP PC[ 03618 ][correction]
Soitfun endomorphisme bijectif d’un espace euclidienEvérifiant :

∀(x y)∈E2(f(x)|y) =−(x|f(y))

Enoncés

a) Montrer que pour tout vecteurxdeE, les vecteursxetf(x)sont orthogonaux.
b) Montrer que l’endomorphismes=f◦fest symétrique.
Soital’une de ses valeurs propres etVale sous-espace propre associé.
c) Soitx∈Va\ {0E}. Montrer que

(s(x)|x) =akxk2=− kf(x)k2

et en déduire quea <0.
d) On considère toujoursx∈Va\ {0E}
Montrer queF=Vect(x f(x))etF⊥sont stables parf.

Montrer que l’endomorphisme induit surFparfa une matrice de la forme
b0−0b

dans une base orthonormée (on préciserab)
e) Conclure que la dimensionEest paire.

Exercice 13CCP MP[ 02552 ][correction]
On noteEl’espace vectorielRn,n>2, muni de sa structure euclidienne
canonique. Le produit scalaire est noté(|).
On dit qu’une applicationf:E→Eest antisymétrique si

∀x y∈E,(x|f(y)) =−(f(x)|y)

a) Montrer qu’une application antisymétrique deEest linéaire.
Que dire de sa matrice dans la base canonique deE?
b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes antisymétriques deEest un
sous-espace vectoriel deL(E)et donner sa dimension.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Sifest antisymétrie(f(x)|x) = (x|f?(x)) =−(x|f(x))donc(f(x)|x) = 0
pour toutx∈E.
Inversement, si pour toutx∈E,(f(x)|x) = 0alors pour toutx y∈E,
(f(x+y)|x+y) = 0et en développant et simplifiant on obtient
(f(x)|y) + (f(y)|x) = 0d’où(f(x)|y) = (x| −f(y))et doncf?=−f.
b)fest bien un endomorphisme et(f(x)|x) = (u∧x|x) = 0.
c) Soit(i j k)une base orthonormée directe deE. Compte tenu de son
antisymétrie, la matrice defdans cette base esa0c.
t de la forme−−0b−ca0b
Pouru=xi+yj+zk, la matrice dex7→u∧xdans la base(i j k)est
0−z yégalité de représentations matricielles, on peut conclure. Par
z0−x
−y x0
à l’existence et l’unicité d’un vecteuru∈Etel quef(x) =u∧xpour toutx∈E.
En l’occurrenceu=−ci+bj−ak.

Exercice 2 :[énoncé]
SoitA∈ Mn(R)antisymétrique.
SiAest inversible alorsdetA6= 0et la relationtA=−Adonne
detA= (−1)ndetAet doncnest pair.
SiAn’est pas inversible, en considérant une base orthonormée deRnadaptée à
kerA, on peut écrireA=tP A0PavecP∈ On(R)etA0antisymétrique de la
formeA0=00A000avecA00antisymétrique inversible. Puisque
rgA=rgA0=rgA00,Aest de rang pair.

Exercice 3 :[énoncé]
SoitAune matrice antisymétrique réelle.
Le déterminant deAest le produit des valeurs propres complexes deAcomptées
avec multiplicité. Puisque la matriceAest réelle, ses valeurs propres complexes
non réelles sont deux à deux conjuguées et forment donc un produit positif. Il
reste à étudier les valeurs propres réelles deA.
Soientλune valeur propre réelle deAetXest une colonne propre associée.
D’une part
tXAX=λtXX

D’autre part

tXAX=−t(AX)X=−λtXX

On en déduitλ= 0sachantX6= 0.
Par suite le déterminant deAest positif ou nul.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Pour tout vecteurxdeE,

Ainsi

(x|f(λy+µz)) =−(f(x)|λy+µz) =−λ(f(x)|y)−µ(f(x)|z)

(x|f(λy+µz)) = (x|λf(y) +µf(z))

3

Or ceci valant pour toutxon peut affirmer la linéarité de, f.
b) NotonsA= (aij)la matrice defdans une base orthonormée(e1     en)de
Rn.
On aaij= (ei|f(ej))et l’antisymétrie defdonne alorsaij=−ajid’où
tA=−A.
¯ ¯
c) D’une parttXAX=λtXXet d’autre part
¯ ¯ ¯−tXX=−λ¯tX¯X.
tXAX=−tXtAX=A
¯ ¯
PuisquetXXest un réel non nul (carX6= 0), on obtientλ=−λet doncλ∈iR.
d) Un endomorphisme antisymétrique est représenté par une matriceA
antisymétrique réelle. Celle-ci est trigonalisable dansMn(C)et est donc
semblable dansMn(C)matrice triangulaire supérieure où figure sur laà une
diagonale ses valeurs propres complexes comptées avec multiplicité. Le
déterminant defest donc le produit des valeurs propres complexes comptées avec
multiplicité de la matriceA, or cette dernière est réelle donc ses valeurs propres
complexes sont deux à deux conjuguées et de plus ses valeurs propres sont
imaginaires pures. Ainsi le déterminant defest le produit d’éventuels 0 et de
termesiλet−iλ; cela donne un réel positif.

Exercice 5 :[énoncé]
a) Siλest valeur propre deude vecteur proprex6= 0alors la relation
(u(x)|x) = 0donneλkxk2= 0qui entraîneλ= 0.
Seule 0 peut tre valeur propre deu. Par suite un endomorphisme antisymétrique
est diagonalisable si, et seulement si, il est nul.
b) L’égalité(u(x+y)|x+y) = 0avec(u(x)|x) = (u(y)|y) = 0donne le résultat.
SoientB= (e1     en)une base orthonormée deEetA= (aij)la matrice deu
dansB. On sait que
aij= (ei|u(ej))

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Corrections

donc par la relation précédenteaij=−ajiet la matriceAest antisymétrique.
c) D’une part
tX¯AX=λtX¯X

D’autre part

tX¯AX=−tX¯tA¯X=−tAXX=−λtX¯X

Or, en notantx1     xnles éléments de la colonneX, on a

n
tX¯X=X|xi|2>0
i=1

carX60.
=
¯
On en déduitλ=−λet doncλ∈iR.

Exercice 6 :[énoncé]
a) Introduisons une base deEetMetAles matrices deϕetfdans cette base.
La matriceMest symétrique et inversible carϕnon dégénérée.
L’hypothèse∀x y∈E,ϕ(f(x) y) =−ϕ(x f(y))donnet(AX)M Y=−tXM AY
pour toutes colonnesX Yet donctAM=−M Asoit encoret(M A) =−M A. La
matriceM A et puisque . . )antisymétrique donc de rang pair (culture.est Mest
inversibleAest de rang pair.
b) Soitf∈ L(Mn(R))défini parf(M) =AM−M A.
Le commutant deAest le noyau defet sa codimension est le rang def.
Considéronsϕ: (M N)→tr(M N).ϕest une forme bilinéaire symétrique, non
dégénérée carϕ(M N) = 0pour toutNentraîneM= 0.
Pour toutM N∈ Mn(R), on vérifie aisémentϕ(f(M) N) =−ϕ(M f(N))et on
conclut.

Exercice 7 :[énoncé]
Remarquons pour commencer que, puisqueAest antisymétrique, pour toute
colonneX, on a(AX|X) = 0. En effet

(AX|X) =tXtAX=−tXAX=−(X|AX) =−(AX|X)

Etablissons maintenant la propriété en raisonnant par récurrence surn>1.
Pourn= 1, une matrice antisymétrique est nulle et la propriété est vérifiée.
Pourn= 2, une matrice antisymétrique est de la forme
−0a0a

4

et la propriété est vérifiée.
Supposons la propriété établie jusqu’au rangn>2.
ConsidéronsA∈ Mn+1(R)
Si la matriceAest nulle alors le résultat est obtenu.
Si la matriceAn’est pas nulle alorsA2non plus.
En effet ImA= (kertA)⊥= (kerA)⊥et donc ImA6⊂kerA.
Puisquet(A2) = (−A)2=A2, la matriceA2est diagonalisable.
SoitX1un vecteur propre unitaire deA2associé à une valeur propreλnon nulle.
La colonneAX1est nécessairement non nulle carA2X16= 0.
PosonsX2une colonne unitaire colinéaire àAX1.
On peut écrireAX1=−aX2aveca∈R.
Les colonnesX1etX2orthogonales en vertu de la remarque préliminaire.sont
De plusA2X1=λX1etA2X1=−aAX2doncλX1=−aAX2.
AinsiAX2est colinéaire au vecteur non nulλX1ce qui permet d’écrire
AX2=bX1.
La relation(A(X1+X2)|X1+X2) = (−aX2+bX1|X1+X2) = 0donne
−a+b= 0et doncb=a.
Considérons alors une matricePorthogonale dont les deux premières colonnes
sontX1etX2. Pour celle-ci, la matriceP−1APest antisymétrique de la forme
0nM−a1101An0−1avecMa=0a
−a0

PuisqueA0∈ Mn−1(R)est antisymétrique, on peut exploiter l’hypothèse de
récurrence pour rendre celle-ci orthogonalement semblable à une matrice de la
forme voulue et conclure.
Récurrence établie

Exercice 8 :[énoncé]
a)tA=−AdonnedetA= (−1)ndetAdoncdetA= 0sinest impair.
b) Siλest valeur propre réelle deAalors on peut écrireAX=λXpour une
certaine colonneXnon nulle . On a alorstXAX=λtXXmais aussi
tXAX=−t(AX)X=−λtXXen déduit que la seule valeur propre réelle de. On
Apossible est la valeur nulle.
Par l’absurde, sidetA <0alors le théorème des valeurs intermédiaires assure que
le polynôme caractéristique deAailleurs qu’en 0. C’est contraire às’annule
l’affirmation qui précède.
AinsidetA>0avec inégalité stricte si, et seulement si,Aest inversible.

Exercice 9 :[énoncé]
SoitY∈kerA∩ImA. On peut écrireY=AXpour une certaine colonneX.

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On a

et doncY= 0.
En sus,

tY Y=t(AX)Y=tXAY= 0

rgA+ dim kerA=n

et donc les espaces ImAetkerAsont supplémentaires.
Puisque l’espace ImAstable, on obtient que la matriceest évidemment Aest
semblable à une matrice de la forme
C000

Corrections

Le rang de la matriceAsimilitude au rang de la matriceest égale par Cmais aussi
par construction à la taille deC. On en déduit que la matriceCest inversible.
Enfin, siλest valeur propre réelle deAde vecteur propreX6= 0on a

tXAX=λXettXAX=−t(AX)X=−λtXX

On en déduit que seule 0 peut tre valeur propre réelle deA. La matriceCn’a
donc pas d’autre valeur propre que 0, or elle est inversible, elle n’admet donc pas
de valeur propre. Elle est alors nécessairement de taille paire.

Exercice 10 :[énoncé]
a) La propriété

∀x y∈E(u(x+y)|x+y) = 0

donne après calculs
∀x y∈E(u(x)|y) = (x| −u(y))
On en déduitu?=−u.
b) Imu= (keru?)⊥etkeru?= kerudonc Imuetkerusont supplémentaires et
orthogonaux.
c) L’image deuest stable paruet on peut donc considérer l’endomorphismev
induit sur Imu.
Puisqueu?=−uon a aussiv?=−v. En passant au déterminant

detv= detv?= det(−v) = (−1)Imudetv

De pluskerv=Imu∩keru={0}doncvest un automorphisme etdetv6= 0.
On en déduit(−1)Imu>0et donc le rang deuest pair.

Exercice 11 :[énoncé]
(ii)⇒(i) est immédiate via

(w∧x|y) =Det(w x y) =−Det(w y x) =−(w∧y|x)

(i)⇒(ii) Supposonsf?=−f
.
Dans une base orthonormée directe(i j k), la matrice defest de la forme
c0−0c−ab

car antisymétrique.
Pourw=ai+bj+ck, on observe

−b a0

w∧i=−bk+cj,w∧j=ak−cietw∧k=−aj+bi

Par suitef(x) =w∧xpour toutxcar les applications linéairesfetx7→w∧x
coïncident sur une base.

Exercice 12 :[énoncé]
a) On a

(x|f(x)) =−(x|f(x))

doncxetf(x)sont orthogonaux et ce, quel que soitxdansE.
b) Pour toutx y∈E

(s(x)|y) =−(f(x)|f(y)) = (x|s(y))

et donc l’endomorphismesest symétrique.
c) Icix∈Va\ {0E}doncs(x) =axpuis

(s(x)|x) = (ax|x) =akxk2

On a aussi comme vu ci-dessus

(s(x)|x) =−(f(x)|f(x)) =− kf(x)k2

Puisquex6= 0Eetf(x)6= 0E(carfest bijective), on en déduita <0.
d) Puisquef(x)∈Fetf(f(x)) =s(x) =ax∈F, on peut assurer queFest
stable parf.
Poury∈F⊥, on a

(f(y)|x) =−(y|f(x)) = 0et(f(y)|f(x)) =−(y|s(x)) =−a(y|x) = 0

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et doncf(y)∈F⊥. L’espaceF⊥est donc aussi stable parf.
Posons
x1
u=k ketv=b f(u)avecb=√−a
x
La famille(u v)est une base orthonormée deFnotamment car

kvk2=b12(f(u)|f(u)) =−b12(u|s(u)) =−ab2kuk2= 1

Corrections

Puisque
f(u) =bvetf(v) = 1b s(x) =axb=−bx
la matrice de l’endomorphisme induit parfsurFdans la base orthonormée(u v)
est
b0−0b

e) Par les outils qui précèdent, on parvient par récurrence, à décomposer l’espace
Een somme directe orthogonale de plans stables parf, l’espaceEest donc de
dimension paire.

Exercice 13 :[énoncé]
a) Pour tout vecteurxdeE,
(x|f(λy+µz)) =−(f(x)|λy+µz) =−λ(f(x)|y)−µ(f(x)|z).
Ainsi(x|f(λy+µz)) = (x|λf(y) +µf(z)). Or ceci valant pour toutx, on peut
affirmer la linéarité def.
NotonsA= (aij)la matrice defdans la base canonique(e1     en)deRn.
On aaij= (ei|f(ej))la base canonique est orthonormée. L’antisymétrie decar
fdonne alorsaij=−aji.
b) Les endomorphismes antisymétriques sont par représentation matricielle en
correspondance avec les matrices antisymétriques. Par cet isomorphisme, les
endomorphismes antisymétriques forment un sous-espace vectoriel de dimension
n(n−1)
2.

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