Sujet : Algèbre, Espaces préhilbertiens, Distance à un sous-espace vectoriel

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Distance à un sous-espace vectoriel Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02736 ] [correction] On munitM (R) du produit scalaire rendant orthonormée la base canonique,n dont on notekk la norme associée. Soit J la matrice deM (R) dont tous lesnExercice 1 [ 00526 ] [correction] coefficients sont égaux à 1.[Déterminant de Gram] Si M∈M (R), calculer inf kM−aI −bJk.n nSoit E un espace préhilbertien réel. Pour (u ,...,u ) famille de vecteurs de E, on 21 p (a,b)∈R note G(u ,...,u ) la matrice deM (R) dont le coefficient d’indice (i,j) est1 p p (u |u ).i j a) Montrer que si la famille (u ,...,u ) est liée alors1 p Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02735 ] [correction] Calculer Z detG(u ,...,u ) = 01 p 1 2 2 2inf t (lnt−at−b) dt,(a,b)∈R b) Etablir la réciproque. 0 c) Montrer que si (e ,...,e ) est une base d’un sous-espace vectoriel F de E alors1 p pour tout x∈E, s Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 01332 ] [correction]detG(e ,...,e ,x)1 p ?d(x,F) = Soient n∈N , E =R [X] etndetG(e ,...,e )1 p Z +∞ 2 −th,i : (P,Q)∈E 7→hP,Qi = P(t)Q(t)e dt 0 Exercice 2 [ 00527 ] [correction] a) Montrer que (P|Q) =P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2) définit un produit a) Justifier la définition deh,i et montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire. scalaire surR [X]. On pose F ={P∈E,P(0) = 0}. On cherche à déterminer d(1,F). On note2 2 2 nb) Calculer d(X ,P) où P = aX +b/(a,b)∈R (P ,...,P ) l’orthonormalisée de Schmidt de (1,X,...,X ).0 n 2b) Calculer P (0) .