Sujet : Algèbre, Espaces préhilbertiens, Espace préhilbertien réel
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Espace préhilbertien réel Exercice 6 [ 00510 ] [correction] Soient x,y deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Etablir Exercice 1 [ 00504 ] [correction] x y kx−yk Soient A,B∈S (R). Montrer − =n 2 2 kxkkykkxk kyk 2 2 2(tr(AB +BA)) 6 4tr(A )tr(B ) Exercice 7 [ 00511 ] [correction] On munit E =C ([a,b],R) du produit scalaire défini par Exercice 2 [ 00505 ] [correction] Z bDémonter que la boule unité fermée B d’un espace préhilbertien réel est (f|g) = f(t)g(t) dtstrictement convexe i.e. que pour tout x,y∈B différents et tout t∈ ]0, 1[, a k(1−t)x +tyk 2 vecteurs d’un espace préhilbertien réel.1 n On suppose Exercice 11 X MP [ 03024 ] [correction] ∀16i =j6n, (x |x ) 1. Montrer que Q possède n racines simples dans ]−1, 1[.n On suppose qu’il existe M∈R tel que b) Montrer que n 2 Q =X + (X − 1)R (X)n n n X n ∀(ε ,...,ε )∈{1,−1} , ε x 6M1 n k kavec R ∈R [X]. En déduire Q (1) et Q (−1).n n n 2 k=1c) On pose, pour (P,Q)∈R [X] , Z 1 Montrer nhP,Qi = P (t)Q(t) dt X 2 2 −1 kxk 6Mk k=1 Montrer que Q est orthogonal àR [X].n n−1 2 d) CalculerkQ k .n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 66 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 3 Exercice 17 [ 03321 ] [correction] Exercice 21 [ 03478 ] [correction] On munit l’espace E =C([0, 1],R) du produit scalaire Soit E un espace de Hilbert réel et C une partie convexe fermée non vide de E.

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Espace préhilbertien réel

Exercice 1[ 00504 ][correction]
SoientA B∈ Sn(R). Montrer

(tr(AB+BA))264tr(A2)tr(B2)

Exercice 2[ 00505 ][correction]
Démonter que la boule unité ferméeBd’un espace préhilbertien réel est
strictement convexe i.e. que pour toutx y∈Bdifférents et toutt∈]01[,
k(1−t)x+tyk<1.

Enoncés

Exercice 3[ 00507 ][correction]
Soit(e1 e2     en)une famille de vecteurs unitaires d’un espace préhilbertien réel
Etelle que
n
∀x∈Ekxk2=X(ei|x)2
i=1

Montrer que(e1 e2     en)constitue une base orthonormée deE.

Exercice 4[ 00508 ][correction]
SoientEun espace préhilbertien réel etf g:E→Etelles que

∀x y∈E(f(x)|y) = (x|g(y))

Montrer quefetgsont linéaires.

Exercice 5[ 00509 ][correction]
SoientEun espace préhilbertien réel etf:E→Eune application surjective telle
que pour toutx y∈E, on ait

(f(x)|f(y)) = (x|y)

Montrer quefest un endomorphisme deE.

Exercice 6[ 00510 ][correction]
Soientx ydeux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Etablir

x ykx−yk
−=
kxk2kyk2kxk kyk

Exercice 7[ 00511 ][correction]
On munitE=C([a b]R)du produit scalaire défini par
Zb
(f|g) =f(t)g(t) dt
a

1

En exploitant le théorème d’approximation uniforme de Weierstrass, établir que
l’orthogonal du sous-espace vectorielFdeEformé des fonctions polynomiales est
réduit à{0}.

Exercice 8[ 00512 ][correction]
SoitEun espace de Hilbert réel.
a) Montrer que pourx y∈E,

y
x+y2+x2−y2=kxk2+k k2
2  2

b) SoitFun sous-espace vectoriel fermé deEeta∈E. Montrer qu’il existex∈F
vérifiantd(a F) =kx−ak.
c) Etablir que siHest un hyperplan fermé deE, il existea∈Evérifiant :

∀x∈E,x∈H⇔(a|x) = 0

Exercice 9[ 00513 ][correction]
SoitEun espace préhilbertien réel.
a) Etablir que pour tout sous-espace vectorielFdeE,F¯⊂F⊥⊥.
Désormais, on supposeE=R[X]muni du produit scalaire défini par
(P|Q) =Z−11P(t)Q(t) dt

b) Montrer que

H=P∈R[X]Z−11|t|P(t) dt= 0

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

est un hyperplan fermé deE.
c) SoitQ∈H⊥. Etablir que pour toutP∈R[X],
Z−11P(t)Q(t) dt=Z−11|t|P(t) dt Z−11Q(t) dt
d) Etablir queH⊥={0}et conclure qu’ici l’inclusionH¯⊂H⊥⊥est stricte.

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02666 ][correction]
Montrer l’existence et l’unicité deA∈Rn[X]tel que :
1
Z0A(t)
∀P∈Rn[X] P(0) =P(t) dt

Montrer queAest de degrén.

Exercice 11X MP[ 03024 ][correction]
On définit surR[X]le produit scalaire
1
hP|Z0t)Q(t) dt
Qi=P(

Existe-t-ilA∈R[X]tel que

∀P∈R[X] P(0) =hA|Pi?

Exercice 12X MP[ 03079 ][correction]
On définit
Qn(X 2) =n1n!(X2−1)n(n)
a) Soitn>1. Montrer queQnpossèdenracines simples dans]−11[.
b) Montrer que
Qn=Xn+ (X2−1)Rn(X)
avecRn∈R[X]. En déduireQn(1)etQn(−1).
c) On pose, pour(P Q)∈R[X]2,
Qi=Z1
hP P(t)Q(t) dt
−1

Montrer queQnest orthogonal àRn−1[X].
d) CalculerkQnk2.

Enoncés

Exercice 13[ 03081 ][correction]
SoitE=C([−11]R)muni du produit scalaire défini par
hf|gi=Z−11g(t) dt
f(t)

On pose

F={f∈E∀t∈[−10] f(t) = 0}etG={g∈E∀t∈[01] g(t) = 0}

a) Montrer queF⊥=G.
b) Les sous-espaces vectorielsFetGsont-ils supplémentaires ?

2

Exercice 14[ 03157 ][correction]
SoitF= (x1     xn)une famille den>2vecteurs d’un espace préhilbertien réel.
On suppose
∀16i6=j6n(xi|xj)<0

Montrer que toute sous famille den−1vecteurs deFest libre.

Exercice 15[ 03180 ][correction]
SoitSl’ensemble des vecteurs de norme 1 d’un espace préhilbertien réel. Montrer

∀x y∈S x6=y⇒ ∀λ∈R {01}(1−λ)x+λy∈ S

Exercice 16[ 03318 ][correction]
Soientx1     xndes vecteurs d’un espace préhilbertien réelE.
On suppose qu’il existeM∈Rtel que

Montrer

n
∀(ε1     εn)∈ {1−1}nXεkxk6M
k=1

n
Xkxkk26M2
k=1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 17[ 03321 ][correction]
On munit l’espaceE=C([01]R)du produit scalaire
Z1

hf gi=f(x)g(x) dx
0

Pourf∈E, on noteFla primitive defqui s’annule en 0
x
∀x∈[01]Z0
 F(x) =f(t) dt

et on considère l’endomorphismevdeEdéterminé parv(f) =F.
a) Déterminer un endomorphismev?vérifiant

∀f g∈Ehv(f) gi=hf v?(g)i

b) Déterminer les valeurs propres de l’endomorphismev?◦v.

Exercice 18[ 03322 ][correction]
Soientaun vecteur unitaire d’un espace préhilbertien réelE,kun réel et
ϕ:E×E→Rl’application déterminée par

ϕ(x y) =hx yi+khx ai hy ai

Enoncés

Donner une condition nécessaire et suffisant pour queϕsoit un produit scalaire.

Exercice 19[ 03325 ][correction]
SoitFun sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien réelE. Etablir

F⊥=F¯⊥

Exercice 20[ 03480 ][correction]
On noteE=R[X]et on considère l’applicationϕ:E×E→Rdonnée par
+
ϕ(P Q) =Z0∞P(t)Q(t)e−tdt

a) Justifier que l’applicationϕest bien définie deE×EversR.
b) Montrer que l’applicationϕdéfinit un produit scalaire surE.
c) Pourp q∈N, calculerϕ(Xp Xq).
d) Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille(1 X X2).

Exercice 21[ 03478 ][correction]
SoitEun espace de Hilbert réel etCune partie convexe fermée non vide deE.
a) Soientuetvdeux vecteurs deE. Calculer

ku+vk2+ku−vk2

b) Soit(wn)une suite d’éléments deCtelle que
kwn−xk →d(x C)
Montrer que(wn)est une suite de Cauchy.
c) Montrer que, pour toutxdeE, il existe un unique vecteurudeCtel que

kx−uk=d(x C)

On noteu=pC(x).
d) Montrer quepC(x)est l’unique vecteurvdeCtel que

∀w∈C(x−v|w−v)60

e) Montrer que l’applicationpCest lipschitzienne.

Exercice 22[ 03657 ][correction]
On munitR[X]du produit scalaire
1
hP Qi=Z−1P(t)Q(t) dt

a) Etablir l’existence et l’unicité d’une suite de polynômes(Pn)formée de
polynômes deux à deux orthogonaux avec chaquePnde degrénet de coefficient
dominant 1.
b) Etudier la parité des polynômesPn.
c) Prouver que pour chaquen>1, le polynômePn+1−XPnest élément de
l’orthogonal àRn−2[X].
d) En déduire alors qu’il existeλn∈Rtel que
Pn+1=XPn+λnPn−1

Exercice 23CCP MP[ 03805 ][correction]
a) Enoncer le procéder d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
b) Orthonormaliser la base canonique deR2[X]pour le produit scalaire
1
(P Q)7→Z−1P(t)Q(t) dt

3

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 24CCP MP[ 02494 ][correction]
a) Montrer que dansR3euclidien

a∧(b∧c) = (a|c)b−(a|b)c

Enoncés

(on pourra utiliser les coordonnées dea b cdans une base où elles comportent un
maximum de 0)
b) Trouver les valeurs propres et vecteurs propres def(x) =a∧(a∧x)oùaest
un vecteur unitaire puis recon

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