Sujet : Algèbre, Espaces préhilbertiens, Espaces euclidiens et hermitiens

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Espaces euclidiens et hermitiens

Exercice 1[ 00516 ][correction]
On munitMn(R)du produit scalaire défini par

(A|B) =tr(tAB)

a) Montrer que la base canonique(Eij)16ij6ndeMn(R)est orthonormée.
b) Observer que les espacesSn(R)etAn(R)sont supplémentaires orthogonaux.
c) Etablir que pour toutA∈ Mn(R)on a
tr(A)6√nptr(tAA)

et préciser les cas d’égalité.

Exercice 2[ 00517 ][correction]
Soitaun vecteur normé d’un espace vectoriel euclidienE. Pour toutα∈R, on
considère l’endomorphisme

fα:x7→x+α(a|x)a

a) Préciser la composéefα◦fβ. Quelles sont lesfαbijectives ?
b) Déterminer les éléments propres defα.

Exercice 3[ 00518 ][correction]
Soienta bdeux vecteurs unitaires d’un espace vectoriel euclidienEetf
l’application deEversEdonnée par

f:x7→x−(a|x)b

a) A quelle condition la fonctionfest-elle bijective ?
b) Exprimerf−1(x)lorsque c’est le cas.
c) A quelle condition l’endomorphismefest-il diagonalisable ?

Exercice 4[ 03320 ][correction]
Soitaun vecteur non nul d’un espace euclidien orienté de dimension 3.
On considère l’endomorphisme

f:x∈E7→x+a∧x

a) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres def.
b) Déterminer un polynôme annulateur def.

Enoncés

1

Exercice 5[ 00519 ][correction]
Montrer que dansR3euclidien :a∧(b∧c) = (a|c)b−(a|b)c. (on pourra utiliser
les coordonnées dea b cdans une base où elles comportent un maximum de 0)
Trouver les valeurs propres et vecteurs propres def(x) =a∧(a∧x)oùaest un
vecteur unitaire puis reconnaîtref.

Exercice 6Mines-Ponts PC[ 00520 ][correction]
Soientx1 x2  xn+2des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien de dimension
n∈N?.
Montrer qu’il est impossible que

∀i6=j(xi|xj)<0

On pourra commencer par les casn= 1etn= 2

Exercice 7[ 00521 ][correction]
Soit(e1 e2     en)une famille de vecteurs unitaires d’un espace euclidien réelE
telle que
n
∀x∈EX(ek|x)2=kxk
2
k=1

Montrer que(e1     en)est une base orthonormée deE.

Exercice 8[ 00523 ][correction]
Soitfun endomorphisme d’un espace vectoriel euclidienEtel que

Comparerkerfet Imf.

∀x∈E(f(x)|x) = 0

Exercice 9Centrale MP[ 02396 ][correction]
Soit(Eh | i)un espace euclidien non nul etu∈ L(E)tel que tr(u) = 0.
a) Montrer qu’il existex∈E {0}tel quehu(x)|xi= 0.
b) Montrer qu’il existe une base orthonormée deEdans laquelle la matrice deu
est à diagonale nulle.

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Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02733 ][correction]
Soientc∈R,(Eh i)un espace euclidien de dimensionn>2,v1     vndes
vecteurs unitaires deEdeux à deux distincts tels que :

∀(i j)∈ {1     n}2 i6=j⇒ hvi vji=c

Enoncés

Déterminer une condition nécessaire et suffisante surcpour que(v1     vn)soit
nécessairement liée.

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)(Eij|Ek`) =tr(EjiEk`) =tr(δikEj`) =δikδj`.
b) PourA∈ Sn(R)etB∈ An(R),

(A|B) =tr(tAB) =tr(AB) =−tr(AtB) =−tr(tBA) =−(B|A)

Corrections

donc(A|B) = 0l’orthogonalité des espaces. Leur supplémentarité est connue.et
c) L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

|(In|A)|6kInk kAk

d’où
tr(A)6√nptr(tAA)
avec égalité si, et seulement si, tr(A)>0et(A In)liée, i.e.A=λInavecλ>0.

Exercice 2 :[énoncé]
a)fα◦fβ=fα+β+αβ.
Siα=−1alorsa∈kerfαet doncfαn’est pas bijective.
Siα6=−1alors, pourβ=−1+αα,

fβ◦fα=fα◦fβ=f0=Id

d’où la bijectivité defα.
b) Tout vecteur non nul orthogonal àaest vecteur propre associé à la valeur
propre 1.
Tout vecteur non nul colinéaire àaest vecteur propre associé à la valeur propre
1 +α.
Pour une raison de dimension, il ne peut y avoir d’autres vecteurs propres.

Exercice 3 :[énoncé]
a) L’applicationfest linéaire et l’espaceEest de dimension finie. Il suffit
d’étudier l’injectivité defpour pouvoir conclure.
Six∈kerfalorsx= (a|x)bet donc(a|x) = (a|x)(a|b).
Si(a|x)6= 0alors(a|b) = 1et donca=b(par égalité dans l’inégalité de
Cauchy-Schwarz).
Par contraposée sia6=balors(a|x) = 0etx= 0doncfbijective.
En revanche sia=balorsa∈kerfetfn’est pas bijective.

b) Supposonsa6=b. Siy=f(x)alorsy=x−(a|x)bpuis
(a|y) = (a|x)(1−(a|b))et donc

c)

x=y1+(−a(|ya|)b)b

f(x) =λx⇔(a|x)b= (1−λ)x

3

Soitλune valeur propre. Il existex6= 0tel quef(x) =λxdonc
(a|x)b= (1−λ)xpuis(a|x)(a|b) = (1−λ)(a|x)ce qui donne(a|x) = 0(qui
impliqueλ= 1avecEλ(f) ={a}⊥) ouλ= 1−(a|b).
Si(a|b) = 0:λ= 1est seule valeur propre et l’espace propre associé est
l’hyperplan de vecteur normala.
L’endomorphisme n’est alors pas diagonalisable.
Si(a|b)6= 0:λ= 1etλ= 1−(a|b)sont valeurs propres et puisqueE1(f)est
un hyperplan, l’endomorphisme est diagonalisable.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Soitλun réel.

f(x) =λx⇔a∧x= (1−λ)x

Puisque le vecteura∧xest orthogonal àx, l’équationf(x) =λxne possède pas
de solution non nulle dans le casλ6= 1. Pourλ= 1

f(x) =x⇔a∧x= 0⇔x∈Vect(a)

On en déduit Spf={1}etE1(f) =Vecta.
b) Posons
g:x7→a∧x

On a

puis

Ainsi

g2(x) =a∧(a∧x) = (a|x)a− kak2x

g3(x) =− kak2a∧x=− kak2g(x)

(f−Id)3+kak2(f−Id=)0˜

et donc le polynôme suivant est annulateur def.

(X−1)((X−1)2+kak2)

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Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
Soientuun vecteur unitaire tel quea∈Vectuetvun vecteur unitaire orthogonal
àvtel queb∈Vect(u v). Il suffit ensuite de travailler dans(u v u∧v).
Soitx6= 0.
f(x) =λx⇔(λ+ 1)x= (a|x)a

Sixest orthogonal àaalorsxest vecteur propre associé à la valeur propre−1.
Sinonxest vecteur propre si, et seulement si,xest colinéaire àa. Orf(a) = 0
donca, puisx, est vecteur propre associé à la valeur propre 0.
On reconnaît enfde la projection orthogonale sur le plan de vecteurl’opposé
normala.

Exercice 6 :[énoncé]
Casn= 1.
Supposons disposer de vecteursx1 x2 x3tels que

∀i6=j(xi|xj)<0

Puisquex16= 0,(x1)est une base deE.
Cela permet d’écrirex2=λx1etx3=µx1.
(x2|x1)<0et(x3|x1)<0donneλ <0etµ <0mais alors
(x2|x3) =λµkx1k2>0!
Casn= 2.
Supposons disposer de vecteursx1  x4tels que

∀i6=j(xi|xj)<0

x1étant non nul on peut écrire

∀i>2 xi=λix1+yi

avecyi∈ {x1}⊥etλi<0.
On
∀i6=j>2(xi|xj) =λiλj+ (yi|yj)<0

donc(yi|yj)<0.
y2 y3 y4se positionnant sur la droite{x1}⊥, l’étude du casn= 1permet de
conclure.
Cas général.
Par récurrence surn>1.
Pourn= 1: ci-dessus
Supposons la propriété établie au rangn>1.

Supposons disposer de vecteursx1  xn+3tels que

∀i6=j(xi|xj)<0

à l’intérieur d’un espace vectoriel euclidien de dimensionn+ 1.
x1étant non nul on peut écrire
∀i>2 xi=λix1+yi
avec