Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Obtention de base en dimension finie

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Obtention de base en dimension finie Exercice 1 [ 01637 ] [correction] On pose~e = (1,1,1),~e = (1,1,0) et~e = (0,1,1).1 2 3 3Montrer queB = (~e ,~e ,~e ) est une base deR .

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Obtention de base en dimension

Exercice 1[ 01637 ][correction]
On posee~1= (111),e~2= (110)et~e3= (011).
Montrer queB= (e~1e~2e~3)est une base deR3.

finie

Exercice 2[ 01638 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 etB= (e~1 e2 e3)une base deE.
~ ~
On pose~ε1=~e2+ 2~e3,~ε2=~e3−e~1et~ε3=~e1+ 2e~2.
Montrer queB0= (~ε1ε~2~ε3)est une base deE

Exercice 3[ 01639 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 etB= (~e1e~2e~3)une base deE.
Soit~ε1=~e1+ 2~e2+ 2e~3etε~2=e~2+e~3.
Montrer que la famille(ε~1ε~2)compléter celle-ci en une base deest libre et E.

Enoncés

Exercice 4[ 01640 ][correction]
SoitEunK-espace vectoriel muni d’une baseB= (e1     en).
Pour touti∈ {1     n}, on poseε~i=e~1+∙ ∙ ∙+~ei.
a) Montrer queB0= (ε~1ε~n)est une base deE.
b) Exprimer les composantes dansB0d’un vecteur en fonction de ses composantes
dansB.

Exercice 5[ 03724 ][correction]
[Lemme d’échange]
Soient(e1     en)et(e01     e0)deux bases d’unR-espace vectorielE.
n
Montrer qu’il existej∈ {1     n}tel que la famille(e1     en−1 e0j)soit encore
une base deE.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Supposonsλ ~+~λe2+λ3e~3~
1e1 2= 0.
On a
λ1+λ2= 0
λ1+λ2+λ3= 0
λ1+λ3= 0

Corrections

qui donneλ1=λ2=λ3= 0.
La familleBest une famille libre formée de3 = dimR3vecteurs deR3, c’est donc
une base deR3.

Exercice 2 :[énoncé]
Supposonsλ1ε~1+λ2~ε2+λ3ε~3~O a
=on
.
(λ3−λ2)e~1+ (λ1+ 2λ3)~e2+ (2λ1+λ2)e~3=o~or(e~1~e2e~3)est libre donc
λ3−λ2= 0
λ1+ 2λ32=00=puisλ1=λ2=λ3= 0.
2λ1+λ
La familleB0est une famille libre formée de3 = dimEvecteurs deE, c’est donc
une base deE.

Exercice 3 :[énoncé]
Les vecteursε~1et~ε2ne sont pas colinéaires donc forme une famille libre.
Pour~ε3=e~2(ou encore par exemple~ε3=~e3mais surtout pasε~3=e~1), on montre
que la famille(ε~1ε~2ε~3)est libre et donc une base deE.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Supposonsλ1~ε1+∙ ∙ ∙+λn~εn=o~. On a(λ1+∙ ∙ ∙+λn)~e1+∙ ∙ ∙+λn~en=~odonc
λ1+λ2+∙ ∙ ∙+λn= 0
λ2+∙ ∙ ∙+λn= 0
qui donneλ1=  =λn= 0.
.

λn= 0
La familleB0est une famille libre formée den= dimEvecteurs deE, c’est donc
une base deE.

λ1+λ2+∙ ∙ ∙+λn=µ1
λ2+∙ ∙ ∙+λn=µ2
b)λ1ε~1+∙ ∙ ∙+λnε~n=µ1e~1+∙ ∙ ∙+µn~endonnepuis
.
λn=µn

λ1=µ1−µ2

λn−1=µ.n−1−µn.
λn=µn

Exercice 5 :[énoncé]
Par l’absurde, supposons la famille(e1     en−1 e0j)liée pour chaque
j∈ {1     n}.
Puisque la sous-famille(e1     en−1)est libre, le vecteure0jest combinaison
linéaire des vecteurse1     en−1et donc

Cela entraîne

∀j∈ {1     n} e0j∈Vect(e1     en−1)

en∈E=Vect(e01     e0n)⊂Vect(e1     en−1)

ce qui est absurde.

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