Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Rang d'une application linéaire

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 29
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Rang

d’une application

linéaire

Exercice 1[ 01660 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf g∈ L(E).
Montrer que
rg(f+g)6rg(f) +rg(g)

puis que

|rg(f)−rg(g)|6rg(f−g)

Exercice 2[ 01661 ][correction]
SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimension finies et
f∈ L(E F) g∈ L(F E)telles quef◦g◦f=fetg◦f◦g=g.
Montrer quef g f◦getg◦font mme rang.

Exercice 3[ 03421 ][correction]
SoientE F G HdesK-espaces vectoriels de dimensions finies etf∈ L(E F),
g∈ L(F G),h∈ L(G H)des applications linéaires. Montrer

rg(g◦f) +rg(h◦g)6rgg+rg(h◦g◦f)

Enoncés

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On a Im(f+g)⊂Imf+Imgdonc

Corrections

rg(f+g)6dim(Imf+Img) = dimImf+ dimImg−dimImf∩Img6rg(f) +rg(g)

Aussi

donc

rg(f) =rg(f−g+g)6rg(f−g) +rg(g)

rg(f)−rg(g)6rg(f−g)

On conclut par symétrie sachant rg(f−g) =rg(g−f).

Exercice 2 :[énoncé]
Le rang d’une application linéaire composée est inférieur aux rangs des
applications linéaires qui la compose.
D’une part rg(f◦g)rg(g◦f)6rg(f)rg(g)
D’autre part rg(f) =rg(f◦g◦f)6rg(g◦f)rg(f◦g)rg(g)et
rg(g) =rg(g◦f◦g)6rg(f)
Ces comparaisons permettent de conclure.

Exercice 3 :[énoncé]
Pourϕ ψapplications linéaires composables

Ainsi

et

Puisque

on a

rg(ψ◦ϕ) = dimImψImϕ=rgϕ−dim (Imϕ∩kerψ)

rg(h◦g◦f) =rg(g◦f)−dim (Im(g◦f)∩kerh)

rg(h◦g) =rgg−dim (Img∩kerh)

Im(g◦f)⊂Img

dim (Im(g◦f)∩kerh)6dim (Img∩kerh)

ce qui fournit l’inégalité demandée.

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD