Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Notions affines

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Notions affines Exercice 1 [ 01726 ] [correction] A quelle condition une translation et un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E commutent-ils?

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Notions affines

Enoncés

Exercice 1[ 01726 ][correction]
A quelle condition une translation et un endomorphisme d’unK-espace vectoriel
Ecommutent-ils ?

Exercice 2[ 01727 ][correction]
A quelle condition simple le sous-espace affineV
vectoriel ?

=~a+F

est-il un sous-espace

Exercice 3[ 01728 ][correction]
~
SoientV=~a+FetW=b+Gdeux sous-espaces affines d’unR-espace vectoriel
E.
Montrer que
~
V∩W6=∅ ⇔b−~a∈F+G

Exercice 4[ 01729 ][correction]
SoientVetWdeux sous-espaces affines disjoints d’unR-espace vectorielE.
Montrer qu’il existe deux sous-espaces affinesV0etW0, disjoints, de mme
direction et contenant respectivementVetW.

Exercice 5[ 01730 ][correction]
SoientC1etC2deux parties convexes d’unR-espace vectorielE.
Montrer que l’ensembleCformé des milieux des vecteurs~u1et~u2avecu~1∈C1et
u~2∈C2est convexe.

Exercice 6[ 01731 ][correction]
SoitVune partie non vide d’unR-espace vectorielE.
Montrer que si tout barycentre d’éléments deVest encore dansV
sous-espace affine.

alorsV

est un

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soientf∈ L(E)ett=t~uoù~u∈E.
∀~x∈E,(f◦t)(x~) = (t◦f)(x~)⇔f(x~) +f(u~) =f(x~) +u~⇔f(u~) =u.
~
Une translation est un endomorphisme commutent si, et seulement si, le vecteur
de translation est invariant par l’endomorphisme.

Exercice 2 :[énoncé]
Si~a∈FalorsV=~a+F=Fest un sous-espace vectoriel.
~
Inversement, siVest un sous-espace vectoriel alorso~∈Vdonc il existeb∈Ftel
~
queo~=~a+b.
~
On a alors~a=−b∈F. La condition cherchée et~a∈F.

Exercice 3 :[énoncé]
~
(⇒)SupposonsV∩W6=∅. Soitx~∈V∩W. On peut écrirex~=~a+u~=b+~v
avec~u∈Fetv~∈G.
~
On a alorsb−~~u+ (−~v)∈F+G.
a=
~ ~
(⇐)Inversement, sib−~a∈F+Galors on peut écrireb−~u~a+v~avecu~∈F
=
~v∈G.
~
~
On alors~x=~a+u=b−v~∈V∩W.

Exercice 4 :[énoncé]
~
V=~a+F,W=b+G.
~
PosonsV0=~a+ (F+G)etW0=b+ (F+G).
V0etW0sont deux sous-espaces affines de mme direction contenant
respectivementFetG.
SiV0∩W06=∅. Considéronsx∈V0∩W0.
~
~
On peut écrirex~=~a+ (~u+v~) =b+ (u~0+v~0)avecu~u~0∈Fet~v~v0∈G.
~
On a alors~a+ (u~−u0) =b+ (~v0−~v)∈V∩Wce qui est exclu carVetW
disjoints.
AinsiV0etW0sont disjoints.

et

Exercice 5 :[énoncé]
∀λ∈[01],∀u~~v∈C, étudionsλu~+ (1−λ)~v.
On peut écrireu~=21(u~1+u~2)etv~=12(v~1+v~2)avecu~1v~1∈ C1et~u2v~2∈ C2.
1~vecw~1= (uλ~1+ (1−λ)v~1)∈ C1et
w~On ob21s(erλv~ue2a+lo(r1s−λλ~u)+~v2(1)C∈−λ2).~vA=in2si(λw1u~++w~(12)−aλ)~v∈ C.
2=

2

Exercice 6 :[énoncé]
Soit~a∈VetF=nb~−b~~a∈Vo. Montrons queFest un sous-espace vectoriel de
E, ce qui, puisqueV=~a+Fassure queVest un sous-espace affine.
F⊂E,o~=~a−~a∈F.
∀λ∈R∀~u∈F, puisque~a∈Vet~a+~u∈Von a bar((~a1−λ)(~a+uλ~))∈Vi.e.
~a+u~λ∈Vet donc~λu∈F.
~
∀u~v~∈F,~a+u~∈V,b+~v∈Vdonc bar((~a+u~1)(~a+v~1))∈Vi.e.
~
~a+21(~u+v~)∈Vet donc12(~u+v~)∈Fpuisu+~v∈Fen vertu de la propriété
précédente.
FinalementFest un sous-espace vectoriel deE.

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