Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Sous-espace vectoriel

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Sous-espace vectoriel Exercice 7 [ 01687 ] [correction] Soit ω∈C. On note ω.R ={ωx|x∈R}. Montrer que ω.R est un sous-espace vectoriel deC vu commeR-espace vectoriel.Exercice 1 [ 01681 ] [correction] 2 A quelle condition ω.R est-il un sous-espace vectoriel de C vu commeC-espaceLes parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R ? vectoriel? 2 2a) (x,y)∈R |x6y b) (x,y)∈R |xy = 0 2 2c) (x,y)∈R |x =y d) (x,y)∈R |x +y = 1 Exercice 8 [ 01688 ] [correction] Soient~u ,...,~u des vecteurs d’unK-espace vectoriel E.1 n Montrer que l’ensemble F ={λ ~u +··· +λ ~u |λ ,...,λ ∈K} est un1 1 n n 1 nExercice 2 [ 01682 ] [correction] 3 sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs ~u ,...,~u .1 nSoient F = (x,y,z)∈R |x +y−z = 0 et G ={(a−b,a +b,a− 3b)|a,b∈R}. 3a) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R . Exercice 9 [ 01689 ] [correction]b) Déterminer F∩G. Soient E =F(R,R),C l’ensemble des fonctions de E croissantes et Δ ={f−g/f,g∈C}Exercice 3 [ 01683 ] [correction] NLes parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R ? Montrer que Δ est un sous-espace vectoriel de E.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

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Sous-espace vectoriel

Exercice 1[ 01681 ][correction]
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels deR2?
ac))((yyxx))∈∈RR22||xx=6yy)b)d((yyxx))∈∈RR22||xxy=+y0=1

Exercice 2[ 01682 ][correction]
SoientF=(x y z)∈R3|x+y−z= 0et
G={(a−b a+b a−3b)|a b∈R}.
a) Montrer queFetGsont des sous-espaces vectoriels deR3.
b) DéterminerF∩G.

Exercice 3[ 01683 ][correction]
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels deRN?
a)(un)∈RN|(un)bornéeb)(un)∈RN|(un)monotone
c)(un)∈RN|(un)convergented)(un)∈RN|(un)arithmétique

Exercice 4[ 01684 ][correction]
SoitF=(un)∈RN| ∀n∈N un+2=nun+1+un.
Montrer queFest un sous-espace vectoriel deRN.

Exercice 5[ 01685 ][correction]
Les parties deF(RR) ?suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels

a){f:R→R|fest monotone}b){f:R→R|fs’annule en 0}
c){f:R→R|fs’annule}d){f:R→R|fest impaire}.

Enoncés

Exercice 6[ 01686 ][correction]
Montrer que les parties deF([a b]R)suivantes sont des sous-espaces vectoriels :
a)F=f∈ C1([a b]R)|f0(a) =f0(b)
b)G=nf∈ C0([a b]R)|Rabf(t)dt= 0o

Exercice 7[ 01687 ][correction]
Soitω∈C. On noteωR={ωx|x∈R}.
Montrer queωRest un sous-espace vectoriel deCvu commeR-espace vectoriel.
A quelle conditionωRest-il un sous-espace vectoriel deCvu commeC-espace
vectoriel ?

Exercice 8[ 01688 ][correction]
Soient~u1~undes vecteurs d’unK-espace vectorielE.
Montrer que l’ensembleF={~λu1+∙ ∙ ∙+λn~un|λ1     λn∈K}est un
1
sous-espace vectoriel deEcontenant les vecteurs~u1~un.

Exercice 9[ 01689 ][correction]
SoientE=F(RR),Cl’ensemble des fonctions deEcroissantes et

Δ ={f−gf g∈ C}

Montrer queΔest un sous-espace vectoriel deE.

Exercice 10[ 01690 ][correction]
Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un
sous-espace vectoriel d’une structure que l’on précisera.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) non
b) non
c) oui
d) non.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a)F⊂R3,~o= (000)∈Fcar0 + 0−0 = 0et pour toutλ µ∈R,~~v∈F, on
u
peut écrire~u= (x y z)etv~= (x0 y0 z0)avecx+y−z= 0etx0+y0−z0= 0.
On a alorsu~λ+v~µ= (λx+µx0 λy+µy0 λz+µz0)avec
(λx+µx0) + (λy+µy0)−(λz+µz0) =λ(x+y−z) +µ(x0+y0−z0) = 0donc
λ~u+µv∈F.
~
G⊂R3,o~= (000)∈Gcar(000) = (a−b a+b a−3b)poura=b= 0.
Pour toutλ µ∈R,~u~v∈G, on peut écrireu~= (a−b a+b a−3b)et
v~= (a0−b0 a0+b0 a0−3b0)aveca b a0 b0∈R. On a alors
λu~+µ~v=  = (a00−b00 a00+b00 a00−3b00)aveca00=λa+µa0etb00=λb+µb0
doncλ~u+µ~v∈G. FinalementFetGsont des sous-espaces vectoriels deR3.
b)u~= (x y z)∈F∩Gsi, et seulement s’il existea b∈Rtels que
x=a−bx=a−bx=−4b
yz==aa−3+bb⇔zy==aa−3+bbyz==−−26bb.
⇔
x+y−z= 0a+ 3b= 0a=−3b
AinsiF∩G={(−4b−2b−6b)b∈R}={(2c c3c)c∈R}.

Exercice 3 :[énoncé]
a) oui
b) non
c) oui
d) oui.

Exercice 4 :[énoncé]
F⊂RN,0 = (0)n∈N∈Fcar∀n∈N0 =n0 + 0.
∀λ µ∈R,∀(un)(vn)∈F,λ(un) +µ(vn) = (λun+µvn)avec∀n∈N,
λun+2+µvn+2=λ(nun+1+un) +µ(nvn+1+vn) =n(λun+1+µvn+1) +λun+µvn
doncλ(un) +µ(vn)∈F. AinsiFest un sous-espace vectoriel deRN.

Exercice 5 :[énoncé]
a) non
b) oui
c) non
d) oui.

Exercice 6 :[énoncé]
a)F⊂ F([a b]R),˜0∈Fet∀λ µ∈R,∀f g∈F,λf+µgest de classeC1sur
[a b]et(λf+µg)0(a) =λf0(a) +µg0(b) =λf0(b) +µg0(b) = (λf+µg)0(b)donc
λf+µg∈F.
˜
b)G⊂ F([a b]R),0∈Get∀λ µ∈R,∀f g∈G,λf+µgest continue sur[a b]
etRba(λf+µg)(t)dt=λRabf(t)dt+µRabg(t)dt= 0doncλf+µg∈G.

2

Exercice 7 :[énoncé]
ωR⊂C,0∈ωRcar0 =ω×0et∀λ µ∈R,∀z z0∈ωRon peut écrirez=ωxet
z0=ωx0avecx x0∈Ret on a(λz+µz0) =ω(λx+µx0)avecλx+µx0∈Rdonc
λz+µz0∈ωR.
AinsiωRest un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielC.
SiωRest un sous-espace vectoriel duC-espace vectorielCalors puisque
ω=ω×1∈ωReti∈C, on aiω∈ωR. Cela n’est possible que siω= 0.
Inversement, siω= 0alorsωR={0}est un sous-espace vectoriel duC-espace
vectorielC.

Exercice 8 :[énoncé]
F⊂E,o~∈Fcaro~= 0u~1+∙ ∙ ∙+ 0u~net∀α β∈K,∀~yx~∈F, on peut écrire
~x=λ1~u1+∙ ∙ ∙+λn~uety~=µ1u~1+∙ ∙ ∙+µnu~navecλi µi∈Ret on a :
αx~+βy~= (αλ1+βµ1)~u1+∙ ∙ ∙+ (αλn+βµn)u~navecαλi+βµi∈Rdonc
αx~+β~∈F. AinsiFest un sous-espace vectoriel deE.
y
u1+∙ ∙ ∙+λn~unavecλj=δij=(10isisnio=nj.
De plus∀i∈ {1     n}~=λ ~
,ui1
Ai i~ui∈F.
ns

Exercice 9 :[énoncé]
Δ⊂E.0 = 0−0avec0∈ Cdonc0∈Δ.
Soienth h0∈Δ. On peut écrireh=f−geth0=f0−g0avecf g f0 g0∈ C. On a
alorsh+h0(f+f0)−(g+g0)avec(f+f0)(g+g0)∈ C.
=
Soith∈Δ. On peut écrireh=f−gavecf g∈ C.

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∀λ>0, on aλh=λf−λgavecλf λg∈ C.
∀λ <0, on aλh= (−λ)g−(−λf)avec(−λ)g(−λ)f∈ C.
Dans les deux casλh∈Δ.

Corrections

Exercice 10 :[énoncé]
Montrons que l’ensembleFétudié est un sous-espace vectoriel de l’ensembleE
des suites réelles.
AssurémentF⊂E. La suite nulle est périodique donc0∈F. Pouru v∈Fet
λ µ∈R, on peut affirmer queλu+µvestT T0périodique en notantTetT0des
périodes non nulles deuetv. Ainsiλu+µv∈F.

3

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