Sujet : Algèbre générale, Calcul de cosinus par radicaux
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Calcul de cosinus par radicaux
Le but de ce problème est d’établir des formules permettant d’exprimer :
π π
cos et cos
5 17
à l’aide de combinaisons finies de radicaux carrés.
π
Partie I : Calcul decos
5
Soit l’équation :
() :5−1=0 .
1. Résoudre () dansℂ (en calculant les cinq racines de) sous forme trigonométrique.
2. On va maintenant résoudre () par radicaux carrés :
2.a Déterminer la fonction polynomialetelle que pour tout∈ℂ:
5−1=(−1)()
2.b Déterminer des réels,,tels que pour tout∈ℂ∗:
()=+12++1+
2
2.c Résoudre, en exprimant les solutions par radicaux carrés, l’équation :
2++=0
d’inconnue∈ℂ.
2.d Pour finir, résoudre l’équation
()=0
en exprimant les solutions par radicaux carrés, éventuellement superposés.
3. Des questions précédentes, déduire des expressions par radicaux de :
π π π π
cos25πe tisnos,sin,sin5555424c,c,soπ.
5
1.
1.a
1.b
Partie II : Calcul decosπ
17
On désigne paretdeux réels et parun entier naturel non nul.
On pose :
−1−1
(,)=∑cos(+) et(,)=∑sin(+) .
=0=0
On suppose sin2=0 .
Calculer(,) et(,) en fonction deet de.
On suppose sin2≠0 .
Etablir les formules :
(,n)si2socsi+(−1)2et(,)=sin2sin+(−1)2.
=
n sin
2 2
On pourra pour cela évaluer(,)+(, cette méthode n’est toutefois pas imposée.) mais
2.
2.a
2.b
2.c
2.d
3.
3.a
3.b
4.
Dans cette question, et les suivantes,θdésigne le réelπ17 .
On pose :
1=cos 3θ+cos 5θ+cos 7θ+cos11θ
2=cosθ+cos 9θ+cos13θ+cos15θ
Montrer que1>0 .
Calculer la somme1+2en s’aidant du résultat de la question II.1.b.
On trouvera pour résultat un nombre rationnel simple.
Calculer le produit12. On devra pour cela :
i) développer le produit des deux sommes1et2.
ii) appliquer au résultat obtenu la formule linéarisant le produit coscos
iii) en conclure12= −2(1+2) .
Déduire de ce qui précède des expressions de1et2par radicaux carrés.
On pose ici :
1=cos 3θ+cos 5θ
2=cos 7θ+cos11θ
3=cosθ+cos13θ
4=cos 9θ+cos15θ
Calculer en s’inspirant la question précédente les produits12et34.
En déduire les expressions de1,2,3,4à l’aide de radicaux carrés, éventuellement superposés.
Calculer cosθcos13θ coset décrire une méthode qui permette d’exprimerθà l’aide de radicaux carrés.
Après résolution, non demandée, on obtient :
cos1π7=1611−17+34−2 17+68+12 17+2 680+152 17
