2 pages
Français

Sujet : Algèbre générale, Entiers somme de deux carrés

-

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Informations

Publié par
Nombre de lectures 25
Langue Français

Entiers somme de deux carrés

L’objectif de ce problème est de déterminer quels sont les entiers naturels qui sont somme de deux carrés.

Notations :

ℕ,ℤetℂentiers naturels, des entiers relatifs et des nombresdésignent respectivement les ensembles des
complexes.
On poseℤ= {+./∈ℤ,∈ℤ} ⊂ℂetℤ∗=ℤ\{0}.
Pour∈ℂ, on pose()=.

1.
1.a
1.b

1.c

2.

2.a

2.b

2.c

2.d

3.

3.a

3.b

1.

2.

2.a

2.b

2.c

Partie I :Présentation de l’anneau deℤ

Présentation de l’anneauℤ.
Vérifier queℤest un sous-anneau deℂmuni de l’addition et de la multiplication usuelles.
Etablir que pour tout,∈ℤ,()=()() et que pour tout∈ℤ,()∈ℕ.
Un élément∈ℤest dit inversible ssi il existe∈ℤtel que=1 .
Montrer que siest inversible alors()=1 .
Déterminer alors l’ensemble, noté, des éléments inversibles deℤ.

Divisibilité dans l’anneauℤ.
Soit,∈ℤ. On dit quedivisedansℤ, et on note|, ssi il existe∈ℤtel que=.
Soit,,∈ℤ. Etablir l’implication que si|et|alors|.
Soit,∈ℤ. Etablir que si|et|alors= ±ou±.

Soit,∈ℤ. Montrer que sidivisealors() divise() dansℤ.

Déterminer les diviseurs de 1+, puis de 1+3dansℤ.

Division euclidienne dansℤ.
Montrer que pour tout∈ℂ, il existe∈ℤtel que(−)<1 .
Ceest-il unique ?
Montrer que pour tout∈ℤet tout∈ℤ il existe (* ,,)∈ℤ×ℤtel que :
=+avec()<() .
On pourra utiliser la division dansℂ.

Partie II : Arithmétique dansℤ

Soitδ∈ℤ. On noteδ.ℤ={δ/∈ℤ}.
Montrer queδ.ℤest un sous-groupe additif deℤ.
Soit,∈ℤavec≠0 ou≠0 . On note(,)={+′/,∈′ℤ}.
Observer queetappartiennent à l’ensemble(,) .
Montrer que l’ensemble={() /∈(,) \{0}}possède un plus petit élément>0 .
Soitδun élément de(,) tel que(δ)=. Etablir que(,)=δ.ℤ.
On pourra exploiter la division euclidienne présentée en I.3b.

2.d

3.

3.a

3.b

4.

4.a

4.b

1.

1.a

1.b
2.
2.a

2.b
3.
3.a

3.b

4.

Montrer queδdiviseetpuis que
pour tout∈ℤ, on a l’équivalence : (|et|)⇔|δ.
On dit queδest un pgcd deet.
Soit,∈ℤavec≠0 ou≠0 .
On dit queetsont premiers entre eux ssi le nombreδdéfini en II.2.d appartient à{±1,±}.
Dans les questions 3.a et 3.b, on suppose queetsont premiers entre eux.
Justifier qu’il existe,∈′ℤtel que 1=+′

Soit∈ℤ. Montrer que sidivisealorsdivise.

Soit∈ℤ−{0,±1,±}.
On dit queest irréductible ssi ses seuls diviseurs sont±1,±,±et±.
Soit∈ℤ. On suppose queirréductible et ne divise pas.
Montrer queetsont premiers entre eux.
Soit,∈ℤ. On suppose queest irréductible et divise.
Montrer quediviseou divise.

Partie III : Nombres somme de deux carrés

On noteΣ ={2+2/∈ℤ,∈ℤ}.

Montrer que∈ Σ ⇔ ∃∈ℤ,=() .

En déduire que si,′∈Σalors∈′Σ.
désigne un nombre premier strictement supérieur à 2.
Montrer que∈ Σ ⇒≡ 4.1 modulo
Nous admettrons que l’implication réciproque est vraie (quoique loin d’être immédiate).
Ainsi 5=12+22, 13=22+32, 17=12+42,... sont des éléments deΣ.
Montrer que sin’est par irréductible alors∈ Σ.
Soit,∈ℤet=2+2∈ Σ. Soit≡ 4, un nombre premier diviseur de3 modulo.
Montrer que|+.dansℤ.

En déduire que2divise.

Etablir que les entiers naturels non nuls appartenant àΣsont les nombres de la forme=1α12α2…α
avec1,2,…,premiers deux à deux distincts etnombres α1,α2,…,αentiers naturels tels que :
∀1≤≤,≡ 43 modulo⇒αest pair.