Sujet : Algèbre générale, Entiers somme de deux carrés

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Arithmétique. Structures algébriques.

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Entiers somme de deux carrés

L’objectif de ce problème est de déterminer quels sont les entiers naturels qui sont somme de deux carrés.

Notations :

ℕ,ℤetℂentiers naturels, des entiers relatifs et des nombresdésignent respectivement les ensembles des
complexes.
On poseℤ= {+./∈ℤ,∈ℤ} ⊂ℂetℤ∗=ℤ\{0}.
Pour∈ℂ, on pose()=.

1.
1.a
1.b

1.c

2.a

2.b

2.c

2.d

3.a

3.b

2.a

2.b

2.c

Partie I :Présentation de l’anneau deℤ

Présentation de l’anneauℤ.
Vérifier queℤest un sous-anneau deℂmuni de l’addition et de la multiplication usuelles.
Etablir que pour tout,∈ℤ,()=()() et que pour tout∈ℤ,()∈ℕ.
Un élément∈ℤest dit inversible ssi il existe∈ℤtel que=1 .
Montrer que siest inversible alors()=1 .
Déterminer alors l’ensemble, noté, des éléments inversibles deℤ.

Soit,∈ℤ. Montrer que sidivisealors() divise() dansℤ.

Déterminer les diviseurs de 1+, puis de 1+3dansℤ.

Division euclidienne dansℤ.
Montrer que pour tout∈ℂ, il existe∈ℤtel que(−)<1 .
Ceest-il unique ?
Montrer que pour tout∈ℤet tout∈ℤ il existe (* ,,)∈ℤ×ℤtel que :
=+avec()<() .
On pourra utiliser la division dansℂ.

Partie II : Arithmétique dansℤ

Soitδ∈ℤ. On noteδ.ℤ={δ/∈ℤ}.
Montrer queδ.ℤest un sous-groupe additif deℤ.
Soit,∈ℤavec≠0 ou≠0 . On note(,)={+′/,∈′ℤ}.
Observer queetappartiennent à l’ensemble(,) .
Montrer que l’ensemble={() /∈(,) \{0}}possède un plus petit élément>0 .
Soitδun élément de(,) tel que(δ)=. Etablir que(,)=δ.ℤ.
On pourra exploiter la division euclidienne présentée en I.3b.

2.d

3.a

3.b

4.a

4.b

1.a

1.b
2.
2.a

2.b
3.
3.a

3.b

Montrer queδdiviseetpuis que
pour tout∈ℤ, on a l’équivalence : (|et|)⇔|δ.
On dit queδest un pgcd deet.
Soit,∈ℤavec≠0 ou≠0 .
On dit queetsont premiers entre eux ssi le nombreδdéfini en II.2.d appartient à{±1,±}.
Dans les questions 3.a et 3.b, on suppose queetsont premiers entre eux.
Justifier qu’il existe,∈′ℤtel que 1=+′

Soit∈ℤ. Montrer que sidivisealorsdivise.

Soit∈ℤ−{0,±1,±}.
On dit queest irréductible ssi ses seuls diviseurs sont±1,±,±et±.
Soit∈ℤ. On suppose queirréductible et ne divise pas.
Montrer queetsont premiers entre eux.
Soit,∈ℤ. On suppose queest irréductible et divise.
Montrer quediviseou divise.

Partie III : Nombres somme de deux carrés

On noteΣ ={2+2/∈ℤ,∈ℤ}.

Montrer que∈ Σ ⇔ ∃∈ℤ,=() .

En déduire que si,′∈Σalors∈′Σ.
désigne un nombre premier strictement supérieur à 2.
Montrer que∈ Σ ⇒≡ 4.1 modulo
Nous admettrons que l’implication réciproque est vraie (quoique loin d’être immédiate).
Ainsi 5=12+22, 13=22+32, 17=12+42,... sont des éléments deΣ.
Montrer que sin’est par irréductible alors∈ Σ.
Soit,∈ℤet=2+2∈ Σ. Soit≡ 4, un nombre premier diviseur de3 modulo.
Montrer que|+.dansℤ.

En déduire que2divise.

Etablir que les entiers naturels non nuls appartenant àΣsont les nombres de la forme=1α12α2…α
avec1,2,…,premiers deux à deux distincts etnombres α1,α2,…,αentiers naturels tels que :
∀1≤≤,≡ 43 modulo⇒αest pair.

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