Sujet : Algèbre générale, Equation fonctionnelle
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Sujet : Algèbre générale, Equation fonctionnelle

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Equation fonctionnelle

L’objectif de ce problème est la détermination des applications:ℝ+→ℝvérifiant les deux propriétés

suivantes :
(1)
(2)

∀,∈ℝ+,(+)≥()+() (on dit queest sur-additive),
∀,∈ℝ+,()=()() (on dit queest multiplicative).

Partie I : Un exemple

Soitαun réel supérieur ou égal à 1.
1. Montrer que pour tout réel≥ (10 ,+)α≥1+α.
2. En déduire que pour tout,≥ (0 ,+)α≥α+α.

3.

On considère la fonction:ℝ+→ℝdéfinie par()=α.
Justifier queest solution du problème posé.

Partie II : Quelques propriétés

1. Quelles sont les fonctions constantes solutions du problème étudié ?
Désormaisdésigne une fonction non constante solution du problème étudié.
2. Montrer que(0)=0 ,(1)=1 .
3.a Etablir :∀∈ℝ+,∀∈ℕ,()=().

3.b Etablir aussi :∀ℝ+,0 ( ) 0 et1 .1
=
∈ ≠ ⇒ ≠()

3.c
4.

Etablir enfin :∀∈ℝ+,>0⇒()>0 .
Montrer queest croissante.

Partie III : Détermination des solutions

A nouveaudésigne une fonction non constante solution du problème étudié.
1. Etablir que ln(2) est bien défini et que ln(2)≥ln 2 .
2. Justifier :∀>0,∃!∈ℤtel que 2≤<2+1.
3. Soit un réel>0 etun entier naturel.
On convient de noter 2l’unique entier tel que≤<2+1.
3.a Déterminer la limite du rapportquandtend vers+∞.
3.b En observant l’encadrement(2)≤()≤(2)+1,
justifier :≤ln()≤+ .1
ln (2)
3.c En déduire que lnln()=nlln2( )2.
4. On poseα=ln(2) 1 .
ln 2≥
Justifier que pour tout réel≥0 ,()α.
=