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Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 39 |
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Langue | Français |
Extrait
Equation fonctionnelle
L’objectif de ce problème est la détermination des applications:ℝ+→ℝvérifiant les deux propriétés
suivantes :
(1)
(2)
∀,∈ℝ+,(+)≥()+() (on dit queest sur-additive),
∀,∈ℝ+,()=()() (on dit queest multiplicative).
Partie I : Un exemple
Soitαun réel supérieur ou égal à 1.
1. Montrer que pour tout réel≥ (10 ,+)α≥1+α.
2. En déduire que pour tout,≥ (0 ,+)α≥α+α.
3.
On considère la fonction:ℝ+→ℝdéfinie par()=α.
Justifier queest solution du problème posé.
Partie II : Quelques propriétés
1. Quelles sont les fonctions constantes solutions du problème étudié ?
Désormaisdésigne une fonction non constante solution du problème étudié.
2. Montrer que(0)=0 ,(1)=1 .
3.a Etablir :∀∈ℝ+,∀∈ℕ,()=().
3.b Etablir aussi :∀ℝ+,0 ( ) 0 et1 .1
=
∈ ≠ ⇒ ≠()
3.c
4.
Etablir enfin :∀∈ℝ+,>0⇒()>0 .
Montrer queest croissante.
Partie III : Détermination des solutions
A nouveaudésigne une fonction non constante solution du problème étudié.
1. Etablir que ln(2) est bien défini et que ln(2)≥ln 2 .
2. Justifier :∀>0,∃!∈ℤtel que 2≤<2+1.
3. Soit un réel>0 etun entier naturel.
On convient de noter 2l’unique entier tel que≤<2+1.
3.a Déterminer la limite du rapportquandtend vers+∞.
3.b En observant l’encadrement(2)≤()≤(2)+1,
justifier :≤ln()≤+ .1
ln (2)
3.c En déduire que lnln()=nlln2( )2.
4. On poseα=ln(2) 1 .
ln 2≥
Justifier que pour tout réel≥0 ,()α.
=