Sujet : Algèbre générale, Homographies conservant U

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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

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Homographies conservant U

Notations

On noteℝl’ensemble des nombres réels etℂl’ensemble des nombres complexes.
On introduit les sous-ensembles deℂsuivants :
={∈ℂ/=1}={θ/θ∈ℝ},={∈ℂ/ Im()>0}et={∈ℂ/<1}.

Définition

Soit,,,∈ℂtels que−≠0 .
On appelle homographie définie par la relation()=++l’applicationà valeurs dansℂqui à tout

∈ℂtels que+≠ par0 associe++.


Partie I - Exemple

Soitl’homographie définie par()=11+.
−
1.a Montrer que∀∈tel que≠1 ,()∈ℝ.
1.b Observer que∀∈,()∈.
2.a Déterminer les complexestels que()=.

2.b Pour quel(s)∈ℂl’équation()=d’inconnue≠1 possède-t-elle une solution ?

Soitl’homographie définie par()=−.
+
3.a Montrer que∀∈ℝ,()∈.
3.b Observer que∀∈,()∈.

2.a
2.b
3.

3.a

3.b

Partie II - Homographies conservant U

Soitθ∈ℝetl’homographie définie par()=eθ.

Montrer que∀∈,()∈.

Soitα∈ℂtel queα∉,θ∈ℝetl’homographie définie par()=eθα++α .1

Montrer queest bien une homographie et queest définie sur.
Montrer que∀∈,()∈.
Inversement, nous allons démontrer que seules les homographiesprécédentes sont telles que
∀∈,()∈. Avant cela, nous avons néanmoins besoin de deux résultats techniques :
Etablir que∀α,β∈ℂ,α+β2=α2+β2+2 Re(αβ) .

Soit,∈ℂ. Etablir :(∀θ∈ℝ,+2 Re(e−θ)=0⇒)=0 .0
=
Soit,,,∈ℂtels que−≠0 etdéfini a= +une homo
e p r( )+graphie définie sur
telle que∀∈,()∈.

4.a

4.b

4.c

4.d

4.e

4.f

Etablir∀θ∈ℝ,



2+2

+2 Re(e−θ)=

2+

2+2 Re(e−θ) .