Sujet : Algèbre générale, Loi de groupe sur une hyperbole

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Coniques. Strucures algébriques.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 25
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Loi de groupe sur une hyperbole

Le plan usuelPest muni d’un repère orthonorméR=(;  ,  ) . On noteHl’hyperbole d’équation cartésienne 2 −3 2 =1 . 1.(Etude deH) 1.a Préciser les coordonnées des sommetset ′ de l’hyperboleH   (désignant le sommet d’abscisse positive et ′ l’autre). 1.b Déterminer l’excentricitéde l’hyperboleH. 2.(Une loi de composition interne sur le plan) On munit le planPd’une loi de composition interne notée⊻qui aux pointset ′ de coordonnées (,) et ( ′ , ′ ) associe le point=⊻ ′ de coordonnées (α,β) définies par :      β α= =   ′ + ′ + 3   ′ ′ . 2.a Montrer que la loi⊻est associative, commutative et qu’elle possède un élément neutre qu’on précisera.

2.b

2.c

3. 3.a

3.b

4. 4.a

4.b

4.c

 

On considère l’applicationdePversℝqui au point (de coordonnées,) associe ()= 2 −3 2 . Quel est l’ensemble des pointsdu plan tels que()=0 ?()=1 ?. Soitet ′ deux points du plan. Etablir que(⊻ ′ )=()( ′ ) . En déduire que siet ′ appartiennent àH, il en est de même de⊻ ′ .

(Structure de groupe surH) Montrer que la loi⊻munit l’ensembleHd’une structure de groupe commutatif et que le symétrique d’un pointdeHpour la loi⊻est le symétrique de (par rapport à l’axe) .

On noteH + l’ensemble formé des points deHd’abscisse strictement positive etH − =H\H + . H + est-il un sous groupe deH? Même question pourH − . (Construction du composé de deux points deH) Soitet ′ deux points distincts deH, non symétriques par rapport à () et=⊻ ′ . Montrer que la droite ( ′ ) est ( parallèle à la droite) . Soitun point deHet =⊻ . Montrer que la droite () est parallèle à la tangente enàH. En déduire un procédé géométrique de construction du composé par⊻de deux points deH.