Sujet : Algèbre linéaire, Calculs à l'intérieur d'une sous algèbre matricielle

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Calcul matriciel. Espace euclidien.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 20
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Calculs à l’intérieur d’une sous algèbre matricielle

3ℝ+×désigne laℝalgèbre des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels.
  
Pour tout tripletde nombres réels, on notela matrice + .
  
On considère l’ensemble={  ∈ℝ3}.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On pose=0 1 0 ,=1 0 1 et=0 1 0 .
0 0 10 1 01 0 0

1.

2.a
2.b

2.c

2.d
3.

3.a
3.b

3.c

Partie I

Montrer queest un sous-espace vectoriel de3ℝ.
Préciser une base deet sa dimension.
Exprimer22età l’aide de,et.

Soit∈ℝ3,′′′∈ℝ3,=et=′′′′.
Calculer le produit′
.
Montrer queest une sous-algèbre de3ℝ.
Est-elle commutative ?
+×est-il un corps ?
Cette question est consacrée à la recherche des éléments inversibles de l’algèbre.
On fixe∈ℝ3et on pose=.
Calculer le déterminant de la matriceet factoriser le résultat.
On reprend les notations de la question 2.b.
Calculer, lorsque c’est possible, les réels′′′à l’aide depour que=′.
Quels sont les éléments inversibles de?

Partie II

Dans cette partie,est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et123est une base orthonormée
directe de.

2+2+2=1
1.a Montrer queest une matrice orthogonale ssi2+2=0 .
+=0
1.b En déduire toutes les matrices orthogonales appartenant à.
Préciser, parmi ces matrices celles dont le déterminant est positif.
2. On notel’endomorphisme dede matricedans la base123.
Reconnaître, et préciser ses caractéristiques géométriques.

3.

 11 2
−
2 2 2
Soit et 22 0l’ mo
=2 2 endo de matrice rphismedans123.
1 2 1
−
 22 2
Reconnaître, et préciser ses éléments géométriques.

Dans c

1.

2.

3.

Partie III

ette partie, on pose=12et=120. On se propose de calculer les puissances de, puis
celles de.
Calculer23, puis(pour∈ℕ∗) en distinguant les caspair etimpair.

Exprimerà l’aide deet deet montrer que :∀∈ℕ∗=++2
 
avec=1≤∑≤2et=≤∑≤2.
1


Calculer 1++, puis 1−+.
En déduireeten fonction de.