Sujet : Algèbre linéaire, Endomorphisme antisymétrique

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Espaces euclidiens.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

Endomorphisme antisymétrique

Soitun espace vectoriel euclidien de dimension≥2 . On note (|) le produit scalaire de deux vecteursetde. Un endomorphismedeest dit antisymétrique ssi∀,∈, (() |)= −(|()) .

Partie I – Un exemple

Iciest un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Soit=(,, base orthonormée directe de) uneet=.+.+.un vecteur non nul de. On considère ici:→l’application définie par :∀∈,()=∧. 1. Montrer queest un endomorphisme antisymétrique. 2. Décrire Imet ker. 3. Former la matrice représentative dedans. Quelle particularité présente cette matrice ?

Partie II – Etude générale

On revient au cas général oùest un espace vectoriel euclidien de dimension≥2 . 1. Soitun endomorphisme de.  Etablir que les assertions suivantes sont équivalentes :  (i)est antisymétrique,  (ii) la matrice représentative dedans une base orthonormée est antisymétrique,  (iii)∀∈, (() |)=0 . 2. On note( formé des endomorphismes antisymétriques de) l’ensemble. 2.a Etablir que( un sous-espace vectoriel d’un espace connu que l’on précisera.) est 2.b Quelle est la dimension de() ?

3.

3.a

3.b 3.c 3.d

Soitun endomorphisme antisymétrique de. Etablir que det()=(−1)  det. Qu’en déduire lorsqueest impair ? Montrer que Imest l’orthogonal de ker. Montrer que la restriction deà Im Imest un endomorphisme antisymétrique injectif de. En déduire que le rang deest pair.

Partie III – Description des endomorphismes antisymétriques en dimension 3

On se place à nouveau dans le cas oùest un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Dans cette partie, on désire établir que pour tout endomorphisme antisymétrique de, il existe une base  00  orthonormée directedans laquelle la matrice desoit de la forme− avec0 0∈ℝ.   0 0 0   1. Vérifier le résultat dans le cas oùest l’endomorphisme nul. 2. On suppose dans cette question quen’est pas nul. 2.a Quel est le rang de? 2.b Soit=(,,) une base orthonormée directe adaptée à la décomposition=Im⊕ ⊥ ker. Vérifier que le matrice dedans la baseest de la forme voulue.