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Sujet : Algèbre linéaire, Endomorphismes commutant avec les translations

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Endomorphismes commutant avec les translations

On note=(1,,...,) la base canonique deℝ.

Partie I

On considère une suites de réels deux à deux distincts : ()∈ℕ.
Pour∈ℕ∗, on notela matrice carrée d’ordre+ (1 dont l’élément d’indice,) est−−1+1.
01⋯
−1−1−1
Autrement dit :=0⋮1⋯⋮⋮
1 1⋯1
On poseson déterminant que nous allons calculer maintenant :
01⋯−1
−1−1−1−1
01⋯−1
1. On introduit la fonction:ℝ→ℝdéfinie par :()= ⋮⋮ ⋮ ⋮.
01⋯−1
1 1⋯1 1

1.a

1.b

1.c

1.d

2.

2.a

2.b

Justifier queest une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à.
Exprimer le coefficientλdedans() à l’aide de l’un des termes de la suite ()∈ℕ.
Justifier que0,1,...,−1sont racines de.
−1
En déduire que∀∈ℝ,()=λ∏(−) .
=0
 
Conclure :∀∈ℕ∗,=∏(−) .
0≤<≤

On considère+1 nombres réels deux à deux distincts :0,1,...,et on considère la famille de
polynômes :=()0≤≤où=(+).
Former la matrice représentative de la famillerelative à la base.
Etablir queest une base deℝ.

Partie II

On désigne parun entier naturel non nul.
1. Pour tout∈ℝ, on définit une applicationen posant pour tout∈ℝ:()=(+) .
1.a Justifier queest un endomorphisme deℝ.
1.b Quel en est le déterminant ?
On désire déterminer l’ensembleformée des endomorphismesϕdeℝsatisfaisant la propriété :
∀∈ℝ,ϕ=ϕ.
2. Montrer queest un sous-espace vectoriel et un sous-anneau algèbre de(ℝ) .

3.

3.a

3.b

3.c

On notel’endomorphisme de dérivation dansℝ
par: ′
֏.
Etablir que∈.
Justifier que∀∈ {0,1,...,},∈.
Etablir que la famille ()0≤≤est libre.

i.e. l’application:ℝ

→ℝdéfinie

4.

4.a
4.b
4.c
5.

)
.

Soitθ:→ℝdéfinie parθ(ϕ)=ϕ(
Montrer queθest une application linéaire.
Etablir queθest injective.
Déterminer la dimension de.
Donner une base de.