Sujet : Algèbre linéaire, Endomorphismes nilpotents

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Appplications linéaires. Espaces vectoriels de dimension finie.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Endomorphismes nilpotents

Thèmes : espaces vectoriels, applications linéaires, dimension finie
Dans tout le problèmedésigneℝouℂ.
Soitun-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
On noteɶl’endomorphisme nul de identité.et Id l’endomorphisme

Pour∈ℕetendomorphisme de, on définit par récurrence l’endomorphismepar :
0=Idet pour tout∈ℕ,+1=.
Un endomorphismedeest dit nilpotent si et seulement s’il existe∈ℕ∗tel que=ɶ.
Notons qu’alors, pour tout entier≥,=ɶ.

1.

1.a

1.b

1.c

2.

2.a

2.b

2.c
2.d

1.
1.a
1.b
1.c

2.

3.

3.a

3.b

3.c

3.d

Partie I Deux exemples

Dans cette question=espace vectoriel desuplets d’éléments de.
Soitϕ:→définie parϕ(1,2,…,)=(0,1,…,−1) .
Justifier queϕest un endomorphisme de.
Déterminer la dimension de l’image et du noyau de l’endomorphismeϕ.
Montrer queϕest nilpotent.

Dans cette question=espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à∈ℕ∗.

Soit:→définie par()=(+1)−() .
Justifier queest un endomorphisme de.
Soit∈.
Déterminer deg() en distinguant les cas selon queest, ou n’est pas un polynôme constant.
Déterminer image et noyau de.
Etablir queest un endomorphisme nilpotent.

Partie II Etude générale

Soitetdes endomorphismes de.
Justifier que siest nilpotent et queetcommutent alorsest nilpotent.
Justifier que siest nilpotent alorsest nilpotent.
On suppose queest nilpotent.
Montrer que l’endomorphisme Id−est inversible.
Soitun endomorphisme nilpotent de.
Justifier l’existence d’un plus petit entier∈ℕ∗tel que=ɶ.

Celui-ci est appelé indice de nilpotence de l’endomorphisme nilpotent, on le noteν() .

Soitun endomorphisme nilpotent de.
L’objectif de cette question est d’établir queν()≤dim.
Pour cela on pose, pour tout∈ℕ,=ker.
Déterminerν().
Montrer que pour tout∈ℕ,⊂+1.
Montrer que s’il existe∈ℕ dimtel que=dim+1, alors pour tout∈ℕ,=.
 +
Conclure.

Partie III Commutant d’un endomorphisme nilpotentmaximal

Soitun endomorphisme nilpotent detel queν()=dim.
Pour alléger la suite, nous convenons de noterau lieu deν() l’indice de nilpotence de.

On note() l’ensemble des endomorphismes decommutant avec.

1.

2.

2.a

2.b

2.c

2.d

3.

Montrer que( un sous-espace vectoriel de) est() .

Soit∈() .
Justifier qu’il existe0∈tel que−1(0)≠.
Montrer que la famille de vecteurs=(0,(0),…,−1(0 une base de)) constitue.
On note0,1,…,−1∈les composantes du vecteur(0) dans la base.
Exprimer, pour tout∈ {0,1,…,−1},((0 combinaison linéaire des vecteurs de)) comme.

En déduire que=0Id+1+⋯+1−1.
−
Conclure que()=Vect(Id,,2,…,−1) .

4. Déterminer la dimension de() .