Sujet : Algèbre linéaire, Equation matricielle
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Equation matricielle
ℝdésigne l’ensemble des nombres réels.
On considèreun entier naturel supérieur ou égal à 2.
On notera :
2(ℝ des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels,) l’ensemble
2(ℝ) l’ensemble des matrices inversibles de2(ℝ) ,
2(ℝ des matrices diagonales de) l’ensemble2(ℝ) et
la matrice identité de2(ℝ) .
Le but de ce problème est l’étude des ensembles()={∈2(ℝ) /=}.
Dans les parties II et III,désigne uneℝ-espace vectoriel de dimension 2 muni d’une base=(1,2) , et
Iddésigne l’identité de.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
1.a
1.b
2.
2.a
2.b
2.c
Partie I : Etude générale
( un sous-espace vectoriel de) est-il2(ℝ) ?
Soit∈() . Montrer que∈2(ℝ) et que−1∈() .
Soit∈() et∈2(ℝ) . Montrer que−1∈() .
Montrer que()∩2(ℝ un ensemble fini dont on déterminera le cardinal.) est
On considèreun entier naturel supérieur ou égal à 2, et on appellele plus grand diviseur commun à
et. Montrer que()∩()=() .
Partie II : Cas p=2
Soit=une matrice de2(ℝ) et= −.
−
Exprimer la matrice.
En déduire queest inversible ssi−≠ exprimer son inverse0 et−1lorsque tel est le cas.
Soitun élément de que(2) tel≠et≠ −et soitl’endomorphisme dedont la matrice
dans la baseest.
Démontrer que ker(−Id)⊕ker(+Id)=.
En déduire qu’il existe une base dedans laquelle la matrice deest01−10.
Montrer qu’il existe quatre réels,,ettels que−≠0 et=1−+−−2.
2 −
Partie III : Cas p=3
Dans toute la suite du problème,désigne un élément de2(3) , etl’endomorphisme dedont la matrice
dansest. On considère les ensembles=ker(−Id) et=ker(2++Id) où2=.
1.a Montrer que∩= {0}.
1.b
2.
− − ∈.
Soit∈ .ntMor ree 3qu(1+()+2())∈3)(2(1 euq t e2( ))
En déduire que=⊕.
Que peut-on dire desiest de dimension 2 ?
3.
3.a
3.b
4.
4.a
4.b
Le but de cette question est de montrer à l’aide d’un raisonnement par l’absurde quen’est pas de
dimension 1. On suppose donc queest de dimension 1.
Montrer qu’il existe une base=(1,2) detelle quesoit la droite vectorielle engendrée par1et
soit la droite vectorielle engendrée par2.
En considérant le vecteur2(2)+(2)+2, obtenir une contradiction.
On suppose dans cette question queest de dimension 0.
Montrer que (1,(1 une base de)) est.
tels1−1−−2
=
.
En déduire qu’il existe un réel queet un réel non nul2−−
